Problem P. 5590. (October 2024)

P. 5590. We want to make a ping-pong ball bounce uniformly with the help of a motor in the following way: a piston is moved along a vertical axis with an amplitude of 3 cm, and the ball always hits the piston in the equilibrium position once in a period. What should the frequency of the motor be in order to achieve this process? The coefficient of restitution is \(\displaystyle k=0.8\).

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a keresett frekvenciát \(\displaystyle f\)-fel! Ekkor a pingponglabda pattogásának a periódusideje \(\displaystyle T=1/f\), és definíció szerint a dugattyú mozgásának körfrekvenciája \(\displaystyle \omega=2\pi f\). Ahhoz, hogy a pingponglabda pont \(\displaystyle T\) idő alatt essen vissza, (a nehézségi gyorsulást szokásosan \(\displaystyle g\)-vel jelölve)

\(\displaystyle v=\frac{gT}{2}\)

sebességgel kell indulnia fölfelé. A légellenállást elhanyagolva a visszaérkezés sebessége ugyancsak \(\displaystyle v\). A dugattyú felváltva \(\displaystyle +V\) és \(\displaystyle -V\) sebességgel halad át az egyensúlyi helyzeten. Ha a rezgés amplitúdója \(\displaystyle A\), akkor

\(\displaystyle V=A\omega.\)

Fennmaradó pattogás akkor alakulhat ki, ha a pingponglabda mindig a felfelé haladó dugattyúval ütközik. Becsapódáskor a labda sebessége a dugattyúhoz viszonyítva

\(\displaystyle u_1=v+V,\)

az ütközés után pedig, ugyancsak a dugattyúhoz viszonyítva

\(\displaystyle u_2=ku_1=k(v+V).\)

Periodikusan ismétlődő mozgás esetén a nyugvó koordináta rendszerben a visszapattanó labda sebessége éppen \(\displaystyle v\), azaz

\(\displaystyle u_2+V=v.\)

Ez \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle V\) viszonyára a

\(\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{1-k}{1+k}\)

arányt adja, ami az első két egyenletből kapható

\(\displaystyle \frac{V}{v}=\frac{2A\omega}{gT}=\frac{4\pi Af^2}{g}\)

hányadossal összevetve az

\(\displaystyle f=\sqrt{\frac{1-k}{1+k}\cdot\frac{g}{4\pi A}}\)

kifejezésre vezet. Adatainkat behelyettesítve \(\displaystyle f=1{,}72\,\mathrm{Hz}\).

Statistics:

25 students sent a solution.
4 points:	Erdélyi Dominik, Klement Tamás, Kovács Tamás, Papp Emese Petra, Sipos Márton, Tóth Hanga Katalin.
3 points:	Bense Tamás, Erős Fanni, Földi Albert, Simon János Dániel.
2 points:	4 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2024