Problem P. 5594. (October 2024)
P. 5594. There are two neutral metal disks of radius \(\displaystyle R\) between the plates of a parallel plate capacitor having a large area. The disks are parallel to the plates of the capacitor, and they are connected with several thin, unstretched metal threads. The disk at the top is fixed to the top plate of the capacitor with thin insulating rods. Each disk is at a distance of \(\displaystyle d\ll R\) from the capacitor plate which is closer to it. (See the figure.)
How much does the total tension in the metal threads change when a voltage of \(\displaystyle U\) is applied to the capacitor?
Data: \(\displaystyle R=10~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle d=0.5~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle U=5000~\mathrm{V}\).
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A fémkorongok ekvipotenciálisak, hiszen azokat elektromosan vezető fémszálak kötik össze. Emiatt a fémkorongok közötti térrészben az elektromos térerősség nullának tekinthető (legfeljebb a korongok szélénél alakulhat ki ,,szórt'' elektromos mező).
A kondenzátor \(\displaystyle U\) feszültsége a fémkorongok és a kondenzátorlemezek közötti, összesen \(\displaystyle 2d\) szélességű sávokból származik, vagyis a lemezekre merőleges irányú elektromos térerősség nagysága
\(\displaystyle E=\frac{U}{2d}.\)
Az alsó fémkorong alsó felületén – az elektromos megosztás következtében felületegységenként \(\displaystyle \sigma=\varepsilon_0E\) töltés halmozódik fel, amire az \(\displaystyle E\) nagyságú elektromos tér felületegységenként
\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\sigma E=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}=\frac{\varepsilon_0U^2}{8d^2}\)
erőt fejt ki.
Az alsó fémkorongra ható teljes elektrosztatikus erő
\(\displaystyle F=p\cdot R^2\pi=\frac{\varepsilon_0U^2R^2\pi}{8d^2}=0{,}035\,\mathrm{N}.\)
Ennyivel nő meg a fémszálak együttes húzóereje a kondenzátor feltöltésének hatására.
Statistics:
10 students sent a solution. 5 points: Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt. 4 points: Fekete Lúcia, Sütő Áron, Tóth Kolos Barnabás. 3 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, October 2024