Problem P. 5597. (October 2024)

P. 5597. Three alike stars of mass \(\displaystyle m\) form an equilateral triangle at any instant. At a given instant of time, the triangle has a side length \(\displaystyle L_0\), the speed of all three stars is \(\displaystyle v_0\), and the direction of each velocity vector is tangent to the circumscribed circle of the triangle formed by the stars. Determine the period of the pulsating ``triple star'' system.

(6 pont)

Deadline expired on November 15, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Külső erő híján a rendszer tömegközéppontja, ami a szimmetria miatt egybeesik a három csillag alkotta egyenlő oldalú háromszög súlypontjával, nem gyorsul. Tekintsük ezt origónak! Egy tetszőleges pillanatban legyen a háromszög oldalának a hossza \(\displaystyle L\), és nézzük meg az egyes testekre ható erőket! Egy testre csak a másik kettő vonzásának az eredője hat, ennek nagysága

\(\displaystyle F=\frac{\gamma m^2\sqrt{3}}{L^2},\)

és a háromszög súlypontja felé mutat. Mivel a súlypont és a csúcsok távolsága (a körülírható kör sugara) \(\displaystyle R=\tfrac{L}{\sqrt{3}}\),

\(\displaystyle F=-\frac{\gamma mM_\textrm{eff}}{R^2},\)

ahol

\(\displaystyle M_{\rm eff}=\frac{m}{\sqrt{3}},\)

és a \(\displaystyle -\) előjel a vonzásra utal. Mindebből az következik, hogy a három csillag mindegyike a közös tömegközéppont körül olyan bolygómozgást végez, mintha ott egy rögzített \(\displaystyle M_\textrm{eff}\) tömegű centrális égitest lenne, és csak annak a hatását érezné. (Ez természetesen csak akkor igaz, ha a testek megfelelően elhelyezkedő, azonos alakú pályákon szinkronban mozognak, de ezt – amellett, hogy a feladat meg is adja – a kezdeti feltételek szimmetriája biztosítja.)

A rendszer mozgásának a periódusideje azonos az egyes bolygók mozgásának keringési idejével, ami

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\left(\frac{R_\textrm{max}+R_\textrm{min}}{2}\right)^3}{\gamma M_\textrm{eff}}},\)

a feladat tehát az \(\displaystyle R\) (vagy ami azzal egyenértékű, az \(\displaystyle L\)) két szélsőértékének a meghatározása. A szélső helyzetekben az égitest sebessége merőleges a vezérsugárra, tehát az egyik szélsőérték (bár nem tudjuk, melyik) az \(\displaystyle R_0=\tfrac{L_0}{\sqrt{3}}\)-mal adott. A másik meghatározására az energia és az impulzusmomentum megmaradása kínál lehetőséget. Kétféleképpen gondolkodhatunk, vagy a teljes rendszerre írjuk fel ezeket a törvényeket, vagy egy csillagnak az elképzelt központi test körüli keringésére, de a kettő nyilván ekvivalens egyenleteket kell, hogy adjon. Itt az utóbbi utat követjük. Az egyenletek rendre:

\(\displaystyle -\frac{\gamma mM_\textrm{eff}}{R_0}+\frac{1}{2}mv_0^2=-\frac{\gamma mM_\textrm{eff}}{R}+\frac{1}{2}mv^2\)

és

\(\displaystyle mR_0v_0=mRv.\)

Fontos, hogy a perdületre vonatkozó (a második) egyenlet ebben a formában csak a két szélső helyzetre igaz, így az egyenletrendszernek két \(\displaystyle (R,v)\) gyökpárja van, az egyik az ismert \(\displaystyle R_0\) és \(\displaystyle v_0\), a másikat keressük. Az egyenletekből \(\displaystyle v\)-t kiküszöbölve a

\(\displaystyle -\frac{\gamma M_\textrm{eff}}{R_0}\left(1-\frac{R_0}{R}\right)+\frac{1}{2}v_0^2\left(1-\left(\frac{R_0}{R}\right)^2\right)=0\)

összefüggést kapjuk, amit megoldva az

\(\displaystyle R_1=R_0\qquad\textrm{és}\qquad R_2=\frac{R_0v_0^2}{2\gamma M_\textrm{eff}-R_0v_0^2}\,R_0\)

értékeket kapjuk. Látható, hogy a második gyök lehet negatív, de ez fizikailag nem értelmezhető. Ilyenkor a rendszer energiája pozitív, a csillagok nem maradnak együtt, idővel végtelenül eltávolodnak egymástól. A mozgás csak akkor lehet periodikus, ha az égitestek kötött állapotban vannak, tehát az energiájuk negatív, azaz \(\displaystyle R_2\) is pozitív. Hogy az \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) közül melyik a minimum és melyik a maximum, a feladat szempontjából nem számít, a lényeg az, hogy

\(\displaystyle R_\textrm{max}+R_\textrm{min}=R_1+R_2=\frac{2\gamma M_\textrm{eff}}{2\gamma M_\textrm{eff}-R_0v_0^2}\,R_0,\)

amit behelyettesítve

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\left(\frac{\gamma M_\textrm{eff}}{2\gamma M_\textrm{eff}-R_0v_0^2}\right)^3\frac{R_0^3}{\gamma M_\textrm{eff}}}=2\pi\sqrt{\left(\frac{\gamma m}{2\gamma m-L_0v_0^2}\right)^3\frac{L_0^3}{3\gamma m}}\)

adódik.

Megjegyzés. Feladatunkban, ahogy azt említettük, a szimmetria biztosítja, hogy a három égitest a közös tömegközéppont körül mozogva végig szabályos háromszöget alkot. Ez azonban, megfelelő kezdeti feltételek mellett, különböző tömegek esetén is teljesül. Ennek részletes bemutatása megtalálható lapunk egy korábbi cikkében: A gravitációs többtestprobléma két speciális esete, KöMaL 2015. december, 558–563. oldal, http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=201736.

Statistics:

28 students sent a solution.
6 points:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Simon János Dániel, Tóth Kolos Barnabás.
5 points:	Elekes Panni, Fajszi Karsa, Kiss 131 Adorján Timon, Tóth Hanga Katalin, Ujpál Bálint.
4 points:	2 students.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
0 point:	7 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2024