Problem P. 5600. (November 2024)

P. 5600. A twin ladder is standing on a frictionless, horizontal ground such that initially the angle between the ground and each side rail is $\displaystyle \varphi_0$. The spreaders between the front and rear rails prevents them from sliding apart. A man of mass $\displaystyle M$ sits on top of the ladder. The spreaders break and the ladder opens. At what speed and acceleration does the man reach the ground? What is the ratio of these two quantities to the speed and acceleration, respectively, when the man falls freely from the same height? Investigate the two limiting cases when $\displaystyle M\to 0$ and when $\displaystyle M\to\infty$. Consider the two sides of the ladder as uniform rods of mass $\displaystyle m$ and length $\displaystyle \ell$, and the man as a point. The two sides of the ladder are held together at the top by a frictionless hinge. (See the figure).

(5 pont)

Deadline expired on December 16, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje $\displaystyle F_1$ azt az erőt, amivel a talaj felfelé, és $\displaystyle F_2$ azt, amivel az ember lefelé nyomja az egyes létraszárakat. Ezek az erők függőlegesek. A létra szárai között vízszintes erő is hat, de azzal nem kell foglalkoznunk, mert a földetéréskor nincs a létraszárakra ható forgatónyomatéka, így még közvetve sem befolyásolja az ember gyorsulást ebben a pillanatban. A geometriából világos, hogy ha az ember, azaz a létra csúcsának a sebessége és a gyorsulása rendre $\displaystyle v$ és $\displaystyle a$, akkor a létraszárak tömegközéppontjainak a függőleges sebessége és gyorsulása $\displaystyle v/2$ és $\displaystyle a/2$, és a földetérés pillanatában az egyes ágak szögsebessége és szöggyorsulása $\displaystyle \omega=v/\ell$ ill. $\displaystyle \beta=a/\ell$.

A kérdéses sebességet legegyszerűbben az energia-egyenletből kaphatjuk meg:

$\displaystyle \frac{1}{2}Mv^2+2\cdot\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}m\ell^2\left(\frac{v}{\ell}\right)^2=(M+m)\ell g\sin\varphi_0.$

Ebben az egyenletben a bal oldalon az első tag az ember, a második a létraszárak tömegközépponti mozgásának, a harmadik pedig a tömegközéppont körüli forgásának a kinetikus energiája, és felhasználtuk, hogy egy $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle \ell$ hosszúságú homogén rúd tömegközéppontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka $\displaystyle (1/12)m\ell^2$. Ebből a sebesség

$\displaystyle v=v_0\sqrt{\frac{3\left(m+M\right)}{2m+3M}},$

ahol

$\displaystyle v_0=\sqrt{2g\ell\sin\varphi_0}$

a földetérés sebessége lenne a $\displaystyle h=\ell\sin{\varphi_0}$ magasságból történő szabadesés esetén.

A keresett gyorsulás meghatározásához írjuk fel az erő és a forgatónyomaték egyenleteket (ez utóbbit a létra ágak tömegközéppontjára) a földetérés pillanatában!

$$\begin{align*} Ma&=Mg-2F_2,\\ m\frac{a}{2}&=mg+F_2-F_1,\\ \frac{1}{12}m\ell^2\left(\frac{a}{\ell}\right)&=\frac{\ell}{2}\left(F_2+F_1\right). \end{align*}$$

A három egyenletből a gyorsulásra

$\displaystyle a=g\frac{3\left(m+M\right)}{2m+3M}$

adódik.

Az $\displaystyle M\to\infty$ határértékben $\displaystyle M$ mellett $\displaystyle m$ elhanyagolható, ilyenkor $\displaystyle v=v_0$ és $\displaystyle a=g$, mintha a létra ott sem lenne. Ha $\displaystyle M\to0$, akkor $\displaystyle v=\sqrt{3/2}v_0$ és $\displaystyle a=(3/2)g$. (Bár ilyenkor $\displaystyle v>v_0$ és $\displaystyle a>g$, ebben nincs ellentmondás: tulajdonképpen a létra ágak tömegközéppontja ,,esik", ennek a sebessége és a gyorsulása a földetéréskor $\displaystyle \sqrt{3/8}v_0<v_0$ és $\displaystyle (3/4)g<g$. Ugyanakkor, ha az ember nem kapaszkodik a létrába, akkor az esés közben valahol elválik, és szabadeséssel folytatja útját. A nagyobb sebességű és gyorsulású becsapódás csak kapaszkodás esetén jöhet létre, ha áll a létrán, akkor nem.)

Megjegyzés. A megoldásban a létraszárak mozgását felbontottuk a tömegközéppont transzlációjára és egy forgásra, de leírhattuk volna az egészet egyben, mint a földön lévő végpont (pillanatnyi forgástengely) körüli forgást. Ha így járunk el, a nehézségi erő és az $\displaystyle F_2$ forgatónyomatékával kell számolnunk, $\displaystyle F_1$ nem jelenik meg, és egyenesen az

$\displaystyle \frac{1}{3}m\ell^2\left(\frac{a}{\ell}\right)=mg \frac{\ell}{2}+F_2\ell$

egyenletet kapjuk. (Akkor egyszerű a pillanatnyi forgástengelyhez rögzített koordináta rendszert használnunk, ha az inerciarendszer, vagy ha gyorsul ugyan, de az ebből adódó tehetetlenségi erőnek nincs forgatónyomatéka a pillanatnyi forgástengelyre. Esetünkben a becsapódás pillanatában ez utóbbi feltétel teljesül.)

Statistics:

24 students sent a solution.

5 points: Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Molnár Zétény, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt.

4 points: Elekes Panni, Klement Tamás, Papp Emese Petra, Vincze Anna.

3 points: 8 students.

2 points: 2 students.

0 point: 1 student.

Problems in Physics of KöMaL, November 2024

24 students sent a solution.
5 points:	Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Molnár Zétény, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt.
4 points:	Elekes Panni, Klement Tamás, Papp Emese Petra, Vincze Anna.
3 points:	8 students.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?