Problem P. 5601. (November 2024)
P. 5601. A horizontal membrane vibrates vertically, harmonically, at a frequency of 500 Hz. Fine sand is sprinkled on the membrane and the sand particles are seen to rise into the air to a height of 3 mm above the equilibrium position of the diaphragm. What is the amplitude of the vibration of the membrane?
Consider the collision of the sand particles on the membrane as totally inelastic.
(5 pont)
Deadline expired on December 16, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Szorítkozzunk arra az esetre, hogy a homokszemcsék csak a membránnal ütköznek! (Nagyon valószínűtlen, hogy a különböző méretű szemcsék úgy ütközzenek egymás között, hogy valamelyik számottevően több energiára tegyen szert, mint amennyit a membrán közvetíthet neki.) Az egyes homokszemek a membránnal való ütközéskor felveszik annak a sebességét, és a membrán pillanatnyi sebességének és a gyorsulásának az irányától függ, hogy hogyan mozognak tovább. Alapvetően két eset lehetséges:
- A homokszem az ütközés után fölfelé indul el, ez olyankor van amikor az ütközéskor a membrán lassulva (\(\displaystyle -g\)-nél kisebb gyorsulással) mozog fölfelé:
- Minden más esetben a homokszem egy vagy több ütközés után a membránnal együtt mozog, és akkor repül el róla, amikor az fölfelé már áthaladt az egyensúlyi helyzeten, és a gyorsulás kisebbé válik \(\displaystyle -g\)-nél. Ez a fent kijelölt \(\displaystyle x\), \(\displaystyle v\), és \(\displaystyle a\) tartomány szélének felel meg.
\(\displaystyle v=A\omega\cos\omega t>0,\qquad a=-A\omega^2\sin\omega t<-g<0\quad\textrm{azaz}\quad x=A\sin\omega t>\frac{g}{\omega^2}>0.\)
(Itt a rezgőmozgás kitérését, sebességét és gyorsulását valamint az amplitúdót és körfrekvenciát a szokásos módon rendre \(\displaystyle x\)-szel, \(\displaystyle v\)-vel, \(\displaystyle a\)-val, \(\displaystyle A\)-val illetve \(\displaystyle \omega\)-val jelöltük.)
Az adott homokszem az energia tétel szerint
\(\displaystyle h=x+\frac{v^2}{2g}=A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g}\cos^2\omega t\)
magasra képes felrepülni. A feladat szerint a \(\displaystyle h\) magasság maximuma adott, tehát az a kérdés, az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés maximuma mekkora amplitúdó mellett lesz a megadott érték. A jobb oldal a \(\displaystyle \sin\omega t\) négyzetes kifejezése:
\(\displaystyle A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g}\cos^2\omega t=-\frac{A^2\omega^2}{2g}\sin^2\omega t+A\sin\omega t+\frac{A^2\omega^2}{2g},\)
aminek a maximuma ott van, ahol
\(\displaystyle \sin\omega t=\frac{g}{A\omega^2}.\)
(Ezt abból közvetlenül is megkaphatjuk, hogy a homokszem ott válik el a membrántól, ahol az ,,kigyorsul'' alóla, azaz \(\displaystyle a=-A\omega^2\sin\omega t=-g\).) A maximum értéke ebből
\(\displaystyle h_{\mathrm max}=\frac{g}{2\omega^2}+\frac{A^2\omega^2}{2g},\)
ahonnan
\(\displaystyle A=\sqrt{\frac{2gh_{\mathrm max}}{\omega^2}-\frac{g^2}{\omega^4}}.\)
Ebből behelyettesítéssel \(\displaystyle A=7,8\cdot 10^{-2}\,\mathrm{mm}\) adódik.
Statistics:
29 students sent a solution. 5 points: Beke Márton Csaba, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Hornok Máté, Kovács Tamás, Molnár Lili, Simon János Dániel, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta. 4 points: Fekete Lúcia, Fercsák Flórián, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 1 student. 2 points: 7 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, November 2024