Problem P. 5606. (November 2024)

P. 5606. A spacecraft with a total mass \(\displaystyle m_0\) is travelling in interplanetary space at a speed of \(\displaystyle v\) without the presence of external forces. To change the direction of its motion, it suddenly turns on its propulsion system, from which propellant flows out at a constant (relative) speed \(\displaystyle u\), all the time in a direction perpendicular to the instantaneous speed of the spacecraft. How much does the mass of the spacecraft decrease until its velocity vector turns \(\displaystyle 90^\circ\) relative to the original direction?

(6 pont)

Deadline expired on December 16, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A fordulási manőver közben egy tetszőleges pillanatban legyen az űrhajó és a benne lévő hajtóanyag össztömege \(\displaystyle m\). Az űrhajó pillanatnyi sebességével mozgó inerciarendszerben azt látjuk, hogy mialatt kicsiny \(\displaystyle |\Delta m|\) tömegű hajtóanyag \(\displaystyle u\) sebességgel távozik a hajtóműből (és így eközben az űrhajó tömege \(\displaystyle \Delta m<0\) értékkel megváltozik), addig az űrhajó \(\displaystyle \Delta v_\perp\) sebességre tesz szert ellentétes irányban, melynek nagyságát az impulzusmegmaradásból számíthatjuk ki:

\(\displaystyle m\Delta v_\perp=u|\Delta m|=-u\Delta m.\)

Mivel \(\displaystyle \Delta v_\perp\) merőleges az űrhajó állócsillagokhoz viszonyított pillanatnyi sebességvektorára, ezért utóbbinak csak az iránya változik, nagysága nem. Az irányváltozás szöge:

\(\displaystyle \Delta\varphi\approx\frac{\Delta v_\perp}{v}=-\frac{u\Delta m}{vm}.\)

A teljes \(\displaystyle \pi/2\) irányváltozást a kicsiny szögelfordulások összegeként írhatjuk fel. Az összegzés a felosztás finomításával integrálba megy át:

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}=\sum\Delta\varphi=\sum-\frac{u\Delta m}{vm}=\frac{u}{v}\int\limits_{m_0}^{m_\textrm{végső}}-\frac{\mathrm{d}m}{m}=\frac{u}{v}\ln\frac{m_0}{m_\textrm{végső}}.\)

Ebből az űrhajó végső tömege:

\(\displaystyle m_\textrm{végső}=m_0 \mathrm{e}^{-\frac{v}{u}\frac{\pi}{2}}.\)

Statistics:

22 students sent a solution.
6 points:	Agócs Zoltán, Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Kiss 131 Adorján Timon, Tóth Hanga Katalin, Zólomy Csanád Zsolt.
5 points:	Kovács Tamás.
4 points:	1 student.
3 points:	3 students.
1 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, November 2024