Problem P. 5613. (December 2024)

P. 5613. A flat disc, made of 1 mole copper, is moved at a horizontal velocity of \(\displaystyle 1~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) in a horizontal and uniform magnetic field of \(\displaystyle 1~\mathrm{T}\), which is perpendicular to the velocity of the copper disc. The disc is positioned so that both its base and top are horizontal. The diameter of the base and top plates is twenty times the height of the disc. Estimate the number of electrons that accumulate on the negatively charged side of the disc due to the motional induction.

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt a közelítést alkalmazzuk, hogy a korong alsó és felső lapján egyenletes töltéseloszlás jön létre, a korong palástja viszont semleges marad. A korong felső lapja pozitív, alsó lapja pedig negatív töltésű lesz, vagyis a felső lapról elektronok vándorolnak az alsó lapra. A szétvált töltések nagysága legyen \(\displaystyle \Delta q\), a korong magassága legyen \(\displaystyle h\), alap-, illetve fedőlapjának sugara pedig \(\displaystyle R=10h\). A korongban kialakuló indukált térerősséget a Gauss-tételből határozhatjuk meg:

\(\displaystyle E=4\pi k\frac{\Delta q}{\pi R^2}=\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{\pi R^2}.\)

Az ebből a térerősségből származó elektromos erő tart egyensúlyt a mágneses Lorentz-erővel:

\(\displaystyle qE=qvB\qquad\rightarrow\qquad\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\Delta q}{\pi R^2}=vB\qquad\rightarrow\qquad\Delta q=\varepsilon_0\pi R^2vB.\)

Ezután már csak a rézkorong méretét kell meghatározni. Egy mól réz tömege \(\displaystyle M=63{,}5\,\mathrm{g}\), a réz sűrűsége \(\displaystyle \varrho=8{,}96\,\mathrm{\tfrac{g}{cm^3}}\), tehát a térfogata: \(\displaystyle V=\tfrac{M}{\varrho}=7{,}09\,\mathrm{cm^3}\). Másrészt a korong geometriai adataiból a térfogata \(\displaystyle V=\pi R^2h=\tfrac{\pi R^3}{10}\), a kettőt összevetve \(\displaystyle R=2{,}83\,\mathrm{cm}\). Behelyettesítés után megkapjuk a szétvált töltés nagyságát: \(\displaystyle \Delta q=2{,}22\cdot 10^{-14}\,\mathrm{C}\), amit az elemi töltés nagyságával kell elosztanunk, hogy választ kapjunk a kérdéses elektronszámra:

\(\displaystyle N=\frac{\Delta q}{e}=138\,600.\)

Megjegyzés. Mivel a feladatban a sebesség is, a mágneses indukció is SI mértékrendszerben egységnyi, így az indukált térerősség is egységnyi: \(\displaystyle E=vB=1\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\). Ez a térerősség a korong összes belső pontjában egzaktul ennyi, más szóval a nagyjából száznegyvenezer elektron úgy oszlik el a felületen, hogy a korong belsejében minden pontban ugyanolyan legyen \(\displaystyle E\) nagysága és iránya. A széleffektusok miatt valamennyi töltés jut a korong palástjára is, de ennek mennyisége kicsiny a korong lapossága miatt.

Statistics:

9 students sent a solution.
4 points:	Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik.
3 points:	Kovács Tamás, Magyar Zsófia, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt.

Problems in Physics of KöMaL, December 2024