Problem P. 5614. (December 2024)

P. 5614. There are several radioactive isotopes that can both undergo positive beta decay and electron capture (both of which produce the same nuclide). Which has a higher decay energy and by how much?

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a \(\displaystyle Z\) rendszámú és \(\displaystyle A\) tömegszámú semleges atom tömegét \(\displaystyle M(Z,A)\). Ezt a tömeget – amely az atommag tömegének és \(\displaystyle Z\) darab elektron tömegének összege – adják meg nagy pontossággal az izotóptömeg-táblázatok (lásd pl. a KöMaL honlapján https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf).

Elektronbefogásnál az atommag bizonyos valószínűséggel ,,befogja'' az elektronhéj egyik elektronját, amely az atommag egyik protonjával együtt egy neutront és egy neutrínót hoz létre. Ennek megfelelően egy \(\displaystyle Z-1\) rendszámú és \(\displaystyle A\) tömegszámú atommagból, valamint \(\displaystyle Z-1\) darab elektronból álló semleges atom jön létre, miközben felszabadul \(\displaystyle E_\textrm{befogás}\) nagyságú energia, amit a nulla nyugalmi tömegű neutrínó ,,visz el''. Az energiamegmaradás egyenlete:

\(\displaystyle M(Z,A)c^2=M(Z-1,A)c^2+E_\textrm{befogás}.\)

A pozitív \(\displaystyle \beta\)-bomlás során az atommag egyik protonja neutronná alakul, miközben keletkezik egy \(\displaystyle m_+\) tömegű pozitron és egy neutrínó. A \(\displaystyle Z-1\) rendszámú atom környezetében \(\displaystyle Z\) darab \(\displaystyle m_-\) tömegű elektron marad, tehát egy negatív ion jön létre. A folyamatban felszabadul \(\displaystyle E_{\beta^+}\) nagyságú energia, ezt a pozitron és a neutrínó ,,viszi el''. Az energia mérlegegyenlete:

\(\displaystyle M(Z,A)c^2=M(Z-1,A)c^2+m_-c^2+m_+c^2+E_{\beta^+}.\)

A fenti két egylet összehasonlításából kapjuk, hogy

\(\displaystyle E_\textrm{befogás}=E_{\beta^+}+m_-c^2+m_+c^2.\)

Mivel az elektron és a pozitron nyugalmi energiája egyaránt 0,511 MeV nagyságú, látjuk, hogy az elektronbefogás bomlási energiája 1,022 MeV-vel nagyobb, mint a pozitív béta-bomlásé.

Megjegyzés. A megoldás során az elektronhéj elektronjainak kötési energiáját elhanyagolhatóan kicsinek tekintettük.

Statistics:

20 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Erős Fanni, Hasulyó Dorián, Hübner Júlia, Simon János Dániel.
3 points:	Magyar Zsófia, Sipos Márton.
2 points:	7 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2024