Problem P. 5627. (February 2025)
P. 5627. A simple pendulum of length \(\displaystyle \ell\) and of mass \(\displaystyle m\) is attached to an easily rolling trolley of mass \(\displaystyle M\). The system is placed on a horizontal plane, and it is at rest initially. Then the trolley is given a slight push. After how much time will the speed of the trolley be the same again?
(5 pont)
Deadline expired on March 17, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A lökés után a rendszer mozgása két komponensből tevődik össze: egyrészt (vízszintes külső erő hiányában) a tömegközéppont vízszintes irányban állandó sebességgel halad, másrészt az ingán lengő súly és a kiskocsi a tömegközépponthoz rögzített rendszerben egymással ellenütemben lengő illetve rezgő mozgást végez. Ez utóbbi periódus ideje egyszerű megfontolásokkal megadható. Az állandó sebességgel haladó tömegközépponti rendszerben a kiskocsi és az inga úgy mozognak, hogy az inga fonalát a felfüggesztéstől nézve \(\displaystyle m:M\) arányban osztó pont vízszintesen nem mozdul el. Ennek megfelelően, ha az inga kicsiny (radiánban mért) szögkitérése \(\displaystyle \phi\), az ingán lévő kis test elmozdulása
\(\displaystyle x=\ell\frac{M}{M+m}\phi.\)
Ugyanakkor a visszahúzó erő
\(\displaystyle F=mg\phi,\)
tehát a lengő test mozgásegyenlete a tömegközépponti rendszerben (a gyorsulást \(\displaystyle a\)-val jelölve)
\(\displaystyle ma=-mg\phi=-\frac{mg(M+m)}{\ell M}x,\)
amiből
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\ell M}{g(M+m)}}.\)
A meglökést követően tehát ennyi időnként áll elő ugyanaz a helyzet, mint ami közvetlenül a meglökés után volt, nevezetesen ennyi idő múlva az \(\displaystyle m\) pillanatnyi sebessége éppen nulla, a kiskocsié pedig a meglökés során kapott (maximális) érték.
Megjegyzések. 1. A megoldás során a kiskocsi mozgásegyenletét nem is kellett felírnunk. Ez annak köszönhető, hogy a tömegközépponti rendszer most inerciarendszer, amiben az inga lengése egyszerűen leírható. (A tömegközépponti rendszer azért tekinthető inerciarendszernek, mert az inga kitérése kicsi, így első rendben nincs a tömegközéppontnak függőeleges elmozdulása, sebessége és gyorsulása.)
2. \(\displaystyle T\), illetve \(\displaystyle \omega=\tfrac{2\pi}{T}\) ismeretében az egész mozgást könnyen leírhatjuk. \(\displaystyle u_0\)-lal jelölve a kiskocsi induló sebességét, mivel kezdetben \(\displaystyle m\) éppen áll, a tömegközéppont sebessége
\(\displaystyle v_\mathrm{tkp}=u_0\frac{M}{M+m}.\)
Ehhez képest az \(\displaystyle m\) és az \(\displaystyle M\) kezdősebessége rendre
\(\displaystyle v_0=-u_0\frac{M}{M+m}\quad\textrm{és}\quad V_0=u_0\frac{m}{M+m},\)
így a sebességek a tömegközépponti rendszerben a lökés után \(\displaystyle t\) idővel
\(\displaystyle v(t)=v_0\cos\omega t\quad\textrm{és}\quad V(t)=V_0\cos\omega t,\)
a lengő súly \(\displaystyle s\) és a kiskocsi \(\displaystyle S\) elmozdulása pedig
\(\displaystyle s=v_\mathrm{tkp}t+\frac{v_0}{\omega}\sin\omega t,\quad\textrm{illetve}\quad S=v_\mathrm{tkp}t+\frac{V_0}{\omega}\sin\omega t.\)
Statistics:
11 students sent a solution. 5 points: Erdélyi Dominik, Kovács Tamás, Ujpál Bálint. 4 points: Kávai Ádám. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 5 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2025