Problem P. 5636. (March 2025)
P. 5636. A space probe has moved away from the Earth in the opposite direction to the Earth's orbital velocity \(\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km/s}\), at a speed of \(\displaystyle nv\) relative to the Earth (\(\displaystyle n<1\)). Its further motion is only governed – to a good approximation – by the gravitational field of the Sun.
a) What is the major axis and the numerical eccentricity of the orbit of the space probe?
b) What can be \(\displaystyle n\) in order for the remnants of the probe to reach the surface of the Sun?
(See also the article entitled Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok (Problems and exercises related to the motion of artificial celestial bodies).)
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az űrszonda azután, hogy valamennyire eltávolodott a Földtől, Kepler I. törvénye szerint Nap körüli ellipszis pályára áll. Naphoz képesti sebessége
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_a=(1-n)v,\) |
lesz, ami az \(\displaystyle n<1\) feltétel miatt a Földével egyező irányú, de annál kisebb. Mivel a sebesség itt merőleges a Naphoz húzott vezérsugárra, ebben a pontban lesz a pálya aphéliuma, amit jelöljünk \(\displaystyle A\)-val. Az \(\displaystyle A\)-hoz húzott vezérsugár a Föld \(\displaystyle R\) pályasugarával egyenlő: \(\displaystyle r_a=R=1\,\mathrm{CSE}\). Keressük meg a \(\displaystyle P\) perihéliumhoz tartozó \(\displaystyle r_p\) távolságot. Ehhez írjuk fel az energia és a perdület megmaradását a két pontban:
$$\begin{gather*} \frac{1}{2}mv_a^2-\gamma\frac{Mm}{r_a}=\frac{1}{2}mv_p^2-\gamma\frac{Mm}{r_p},\tag{2}\\ mr_av_a=mr_pv_p,\tag{3} \end{gather*}$$ahol \(\displaystyle M\) a Nap, \(\displaystyle m\) a szonda tömege, és \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó. Az egyenletrendszer két ismeretlenje \(\displaystyle r_p\) és \(\displaystyle v_p\). A (2) egyenlet a pálya bármely két pontjára igaz, a (3) viszont csak \(\displaystyle A\)-ban és \(\displaystyle P\)-ben (mert a perdület kifejezésében általában szerepel szorzóként a sebesség és a vezérsugár bezárt szögének szinusza). Egyszerűsítsük mindkét egyenletet \(\displaystyle m\)-mel, és az előbbiben rendezzük a hasonló tagokat egy oldalra:
$$\begin{gather*} \frac{1}{2}(v_p^2-v_a^2)=\gamma M\left(\frac{1}{r_p}-\frac{1}{r_a}\right),\tag{4}\\ r_av_a=r_pv_p.\tag{5} \end{gather*}$$(4)-be helyettesítsük be az (5)-ből kifejezett \(\displaystyle r_p=r_a\tfrac{v_a}{v_p}\)-t, valamint a Föld pályájából felírható \(\displaystyle M\gamma=r_av^2\) összefüggést:
\(\displaystyle \frac{1}{2}(v_p^2-v_a^2)=r_av^2\left(\frac{v_p}{r_av_a}-\frac{1}{r_a}\right)=\frac{v^2}{v_a}(v_p-v_a).\)
Ez másodfokú egyenlet \(\displaystyle v_p\)-re, amelynek egyik, triviális gyöke a \(\displaystyle v_p=v_a\). Mivel mi a másikat keressük, oszthatunk \(\displaystyle (v_p-v_a)\)-val:
\(\displaystyle v_p+v_a=\frac{2v^2}{v_a}.\)
A perihéliumbeli sebesség tehát:
\(\displaystyle v_p=\frac{2v^2}{v_a}-v_a=\frac{2-(1-n)^2}{1-n}v,\)
ahol behelyettesítettük \(\displaystyle v_a\) (1)-gyel megadott értékét. Ezt és (1)-et visszahelyettesítve (5)-be megkapjuk a Nap perihéliumbeli távolságát:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle r_p=\frac{r_av_a}{v_p}=\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}R.\) |
a) (6) ismeretében már könnyen felírhatjuk a szonda pályájának nagytengelyét:
\(\displaystyle r_a+r_p=R+\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}R=\frac{2}{2-(1-n)^2}R=\frac{2}{2-(1-n)^2}\,\mathrm{CSE}\)
és pálya numerikus excentricitását:
\(\displaystyle e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=\frac{1-\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}}{1+\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}}=n(2-n).\)
b) A szonda pályája akkor éri el a Nap felszínét, ha \(\displaystyle r_p\le R_\mathrm{Nap}\). A legkisebb \(\displaystyle n\)-re, amivel el lehet érni a Nap felszínét, a (6) összefüggést felhasználva következő egyenletet írhatjuk fel:
\(\displaystyle \frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}=\frac{r_p}{R}=\frac{6{,}96\cdot 10^5\,\mathrm{km}}{149{,}6\cdot 10^6\,\mathrm{km}}=0{,}00465.\)
Ennek megoldása:
\(\displaystyle 1-n=\sqrt{\frac{2\cdot0{,}00465}{1+0{,}00465}}=0{,}0962,\qquad n=0{,}904.\)
Ennél az \(\displaystyle n\) értéknél a szonda pályája érinti, a \(\displaystyle 0{,}904<n<1\) tartományban (feladat feltételei szerint \(\displaystyle n<1\)) pedig metszi a Nap felszínét.
Statistics:
15 students sent a solution. 5 points: Bélteki Teó, Bencze Mátyás, Elekes Panni, Kovács Tamás, Masa Barnabás, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk. 4 points: Gyenes Károly, Kis Boglárka 08. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2025