Problem P. 5641. (March 2025)

P. 5641. Positively charged pions are unstable particles with a (rest) mass of \(\displaystyle M=139.57\tfrac{\mathrm{MeV}}{c^2}\). Their decay most often results in a muon of mass \(\displaystyle m=105.66\,\tfrac{\mathrm{MeV}}{c^2}\) and a neutrino of mass zero (or negligibly small). One of the decays produced a muon with negligibly small momentum, which can be considered stationary. What was the kinetic energy and speed of the pion before the decay?

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a pion impulzusát \(\displaystyle p\). Ugyanennyi a neutrínó impulzusa is, hiszen a keletkezett müon áll, impulzusa nulla.

A relativisztikus összenergia és az impulzus közötti összefüggés a pionra:

\(\displaystyle E=\sqrt{\left(Mc^2\right)^2+\left(pc\right)^2},\)

ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban.

Célszerű, ha a továbbiakban nem az SI, hanem a részecskefizikában szokásos \(\displaystyle c=1\) egységrendszert használjuk. (Az SI rendszerre a dimenziókat figyelve térhetünk vissza.) Ebben a rendszerben tehát MeV/\(\displaystyle c^2\) helyett MeV-et írhatunk, és az energia-impulzus ,,diszperziós reláció'' így néz ki:

\(\displaystyle E_\textrm{pion}=\sqrt{M^2+p^2},\qquad E_\textrm{müon}=m\qquad\textrm{és}\qquad E_\textrm{neutrínó}=p.\)

A bomlásra érvényes a relativisztikus energiamegmaradás törvénye:

\(\displaystyle \sqrt{M^2+p^2}=m+p,\)

ahonnan algebrai átalakítások után

\(\displaystyle p=\frac{M^2-m^2}{2m}\)

következik, és innen kapjuk, hogy

\(\displaystyle E_\textrm{pion}=\frac{M^2+m^2}{2m},\)

a pion mozgási energiája pedig

\(\displaystyle E^\textrm{mozgási}=E_\textrm{pion}-M=\frac{(M-m)^2}{2m}.\)

A pion sebessége

\(\displaystyle v=\frac{p}{E_\textrm{pion}}=\frac{M^2-m^2}{M^2+m^2}.\)

Az ismert tömegadatok behelyettesítése és a dimenziók helyreállítása után kapjuk, hogy

\(\displaystyle E_\textrm{pion}=145{,}0\,\mathrm{MeV},\qquad E^\textrm{mozgási}=5{,}44\,\mathrm{MeV},\)

továbbá

\(\displaystyle v=0{,}27\,c\approx 81\,000\,\mathrm{\frac{km}{s}}.\)

Statistics:

22 students sent a solution.
5 points:	Bencze Mátyás, Erdélyi Dominik, Klement Tamás, Tóth Hanga Katalin.
4 points:	Elekes Panni, Varga 802 Zsolt.
3 points:	7 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2025