 |
A P. 5645. feladat (2025. április) |
P. 5645. Egy motoros \(\displaystyle 36~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel hajt be egy félkör alakú, ,,visszafordító'' kanyarba. Az aszfalt és a kerekek közötti tapadási súrlódási együttható \(\displaystyle 0{,}58\). A motoros mindvégig egy \(\displaystyle 40~\mathrm{m}\) sugarú köríven tartja járművét (pontosabban a motor és a motoros közös tömegközéppontját), és közben végig egyenletesen növeli annak sebességét.
a) Legfeljebb hány \(\displaystyle \mathrm{m}/\mathrm{s}\)-mal növelheti a motoros másodpercenként a sebességét?
b) Mekkora sebességre gyorsulhat fel a versenyző a kanyar végére?
c) Hogyan változik a motoros függőlegessel bezárt szöge a kanyarban?
Közli: Kis Tamás, Heves
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. a) és b) A kerekekre ható tapadási súrlódási erők eredőjének sugárirányú (radiális) összetevője szolgáltatja a centripetális gyorsulást:
\(\displaystyle ma_\mathrm{cp}=\frac{mv^2}{r}=S_\mathrm{r}.\)
A súrlódási erő érintőirányú (tangenciális) összetevője biztosítja a pályamenti gyorsulást:
\(\displaystyle S_\mathrm{t}=ma_\mathrm{t}\qquad\Rightarrow\qquad a_\mathrm{t}=\frac{S_\mathrm{t}}{m},\)
ami állandó. A sebesség az idő függvényében így írható fel:
\(\displaystyle v=v_0+a_\mathrm{t}t,\)
továbbá azt is kihasználhatjuk, hogy a megadott súrlódási együttható kapcsolatban van a motoros maximális sebességével:
\(\displaystyle \frac{mv_\mathrm{max}^2}{r}=S_\mathrm{r\max},\qquad\mathrm{illetve}\qquad S_\mathrm{t}^2+S_\mathrm{r\max}^2=(\mu mg)^2.\)
A félkör hossza \(\displaystyle \pi r\), amivel kifejezhetjük a pályamenti gyorsulást:
\(\displaystyle a_\mathrm{t}=\frac{S_\mathrm{t}}{m}=\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}\qquad\Rightarrow\qquad S_\mathrm{t}=m\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}.\)
Az előző három egyenlet alapján:
\(\displaystyle S^2_\mathrm{t}+S_\mathrm{r\max}^2=(\mu mg)^2\qquad\Rightarrow\qquad\left(\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}\right)^2+\left(\frac{v_\mathrm{max}^2}{r}\right)^2=\mu^2g^2,\)
tehát \(\displaystyle v_\mathrm{max}^2\)-re nézve másodfokú egyenletre jutottunk, amit megoldva \(\displaystyle v_\mathrm{max}\approx 15\,\mathrm{m/s}\). Az a) kérdés a motoros érintőirányú gyorsulására kérdezett, ami
\(\displaystyle a_\mathrm{t}=\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}\approx 0{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\)
c) Jó közelítéssel feltételezhetjük, hogy a motoros bedőlése egyensúlyi állapotokon keresztül történik. Így a motor kerekének talajjal érintkező pontjára (a motorral együtt mozgó rendszerben) a nehézségi erő forgatónyomatéka egyensúlyt tart a centrifugális erő nyomatékával. Ennek a két erőnek az eredője átmegy a talajjal érintkező ponton, amiből már következik, hogy
\(\displaystyle {\varphi}=\arctg\left(\frac{a_\mathrm{cf}}{g}\right)=\arctg\left(\frac{\frac{v^2}{r}}{g}\right)=\arctg\left(\frac{(v_0+a_\mathrm{t}t)^2}{rg}\right).\)
Behelyettesítéssel kapjuk, hogy a motoros kezdeti bedőlése \(\displaystyle 14^\circ\)-os, míg a félkör végén a maximális bedőlése \(\displaystyle 30^\circ\)-os. (Kiszámíthatjuk azt is, hogy a motoros a félkört 10 s alatt teszi meg, illetve észrevehetjük, hogy a bedőlés szöge nem függ attól, hogy milyen magasan van a motor-motoros rendszer tömegközéppontja, továbbá a számításaink során nem volt szükségünk a rendszer tömegének ismeretére.)
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ujpál Bálint. 4 pontot kapott: Bencze Mátyás, Bús László Teodor, Elekes Panni, Kovács Tamás, Zádori Gellért. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2025. áprilisi fizika feladatai