Problem P. 5645. (April 2025)

P. 5645. A motorcyclist drives at 36 km/h into a semi-circular ``reverse'' curve. The coefficient of static friction between the asphalt and the wheels is \(\displaystyle 0.58\). The motorcyclist keeps his vehicle (more precisely, the centre of gravity of the motorcycle and the biker) on a circular arc of radius 40 m, while increasing its speed uniformly.

a) At most by how many m/s can the motorcyclist increase his speed?

b) To what speed can the rider accelerate at the end of the turn?

c) How does the rider's angle with the vertical vary in the semi-circular turn?

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) és b) A kerekekre ható tapadási súrlódási erők eredőjének sugárirányú (radiális) összetevője szolgáltatja a centripetális gyorsulást:

\(\displaystyle ma_\mathrm{cp}=\frac{mv^2}{r}=S_\mathrm{r}.\)

A súrlódási erő érintőirányú (tangenciális) összetevője biztosítja a pályamenti gyorsulást:

\(\displaystyle S_\mathrm{t}=ma_\mathrm{t}\qquad\Rightarrow\qquad a_\mathrm{t}=\frac{S_\mathrm{t}}{m},\)

ami állandó. A sebesség az idő függvényében így írható fel:

\(\displaystyle v=v_0+a_\mathrm{t}t,\)

továbbá azt is kihasználhatjuk, hogy a megadott súrlódási együttható kapcsolatban van a motoros maximális sebességével:

\(\displaystyle \frac{mv_\mathrm{max}^2}{r}=S_\mathrm{r\max},\qquad\mathrm{illetve}\qquad S_\mathrm{t}^2+S_\mathrm{r\max}^2=(\mu mg)^2.\)

A félkör hossza \(\displaystyle \pi r\), amivel kifejezhetjük a pályamenti gyorsulást:

\(\displaystyle a_\mathrm{t}=\frac{S_\mathrm{t}}{m}=\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}\qquad\Rightarrow\qquad S_\mathrm{t}=m\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}.\)

Az előző három egyenlet alapján:

\(\displaystyle S^2_\mathrm{t}+S_\mathrm{r\max}^2=(\mu mg)^2\qquad\Rightarrow\qquad\left(\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}\right)^2+\left(\frac{v_\mathrm{max}^2}{r}\right)^2=\mu^2g^2,\)

tehát \(\displaystyle v_\mathrm{max}^2\)-re nézve másodfokú egyenletre jutottunk, amit megoldva \(\displaystyle v_\mathrm{max}\approx 15\,\mathrm{m/s}\). Az a) kérdés a motoros érintőirányú gyorsulására kérdezett, ami

\(\displaystyle a_\mathrm{t}=\frac{v_\mathrm{max}^2-v_0^2}{2\pi r}\approx 0{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}.\)

c) Jó közelítéssel feltételezhetjük, hogy a motoros bedőlése egyensúlyi állapotokon keresztül történik. Így a motor kerekének talajjal érintkező pontjára (a motorral együtt mozgó rendszerben) a nehézségi erő forgatónyomatéka egyensúlyt tart a centrifugális erő nyomatékával. Ennek a két erőnek az eredője átmegy a talajjal érintkező ponton, amiből már következik, hogy

\(\displaystyle {\varphi}=\arctg\left(\frac{a_\mathrm{cf}}{g}\right)=\arctg\left(\frac{\frac{v^2}{r}}{g}\right)=\arctg\left(\frac{(v_0+a_\mathrm{t}t)^2}{rg}\right).\)

Behelyettesítéssel kapjuk, hogy a motoros kezdeti bedőlése \(\displaystyle 14^\circ\)-os, míg a félkör végén a maximális bedőlése \(\displaystyle 30^\circ\)-os. (Kiszámíthatjuk azt is, hogy a motoros a félkört 10 s alatt teszi meg, illetve észrevehetjük, hogy a bedőlés szöge nem függ attól, hogy milyen magasan van a motor-motoros rendszer tömegközéppontja, továbbá a számításaink során nem volt szükségünk a rendszer tömegének ismeretére.)

Statistics:

25 students sent a solution.
5 points:	Ujpál Bálint.
4 points:	Bencze Mátyás, Bús László Teodor, Elekes Panni, Kovács Tamás, Zádori Gellért.
3 points:	4 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2025