Problem P. 5647. (April 2025)
P. 5647. An electric water boiler heats up water from \(\displaystyle 20\,^\circ\mathrm{C}\) (room temperature) to \(\displaystyle 60\,^\circ\mathrm{C}\) in a few hours. If you then do not use hot water at all and disconnect the appliance from the mains, the temperature of the water will drop to \(\displaystyle 40\,^\circ\mathrm{C}\) in about 7 days. If we keep the water warm in the boiler but do not use it, how many days of electricity consumption will cost the same as heating up the room temperature water once? (It can be assumed that the heat dissipation of the boiler is proportional to the temperature difference between the water and the environment.)
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a bojlerben lévő víz és a környezet hőmérsékletének különbségét \(\displaystyle T\)-vel. A víz termikus energiájának megváltozása arányos a hőmérséklet-változással: \(\displaystyle \Delta E=C\,\Delta T\), az időegységenként leadott hő pedig arányos \(\displaystyle T\)-vel. Ebből a két összefüggésből kapjuk, hogy a használaton kívüli, kikapcsolt bojler vízhőmérsékletének változási sebessége (csökkenése) \(\displaystyle T\)-vel arányos:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{\Delta T}{\Delta t}=-\lambda T(t),\) |
ahol \(\displaystyle \lambda\) egy (a bojler hőkapacitásától és a hőleadási tényezőtől függő) állandó.
Az (1) egyenlet ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások törvénye, a megoldás is hasonló:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle T(t)=T_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}.\) |
Itt \(\displaystyle T_0\) a kezdeti, \(\displaystyle t=0\) időponthoz tartozó hőmérséklet-különbség, esetünkben \(\displaystyle 60-20=40\,^\circ\mathrm{C}\). A \(\displaystyle \lambda\) ,,bomlási állandót'' a hőmérséklet-különbség feleződésének ismert idejéből számíthatjuk ki:
\(\displaystyle \frac{1}{2}T_0=T_0\,\mathrm{e}^{-\lambda\cdot\textrm{7 nap}},\)
innen
\(\displaystyle \lambda=\frac{\ln 2}{\textrm{7 nap}}\approx 0{,}1\,\frac{1}{\textrm{nap}}.\)
Az elektromos fogyasztás \(\displaystyle F\) költsége a melegítésre fordított energiával, az pedig a hőmérséklet-változással arányos:
\(\displaystyle F=k\cdot\Delta T.\)
(Ez az összefüggés még akkor is igaz, ha a villanyszámla járulékos költségeket is tartalmaz, amennyiben azok is arányosak a ténylegesen ,,elfogyasztott'' elektromos energiával.)
A bojler egyszeri felfűtésének költsége ezek szerint
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle F_1=k\,T_0.\) |
(A víz felmelegítése közben leadott hő sokkal kisebb, mint a felfűtés során átadott hő, hiszen a felfűtés ideje csak néhány óra, a leadott hő pedig több nap alatt lesz számottevő.)
A \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű bojler lehűlésének pillanatnyi sebessége (1) szerint \(\displaystyle \lambda T_0\). Ez időben állandónak tekinthető, hiszen a bojler ki-be kapcsolgató termosztátja nem engedi a hőmérsékletet számottevően \(\displaystyle T_0\) alá csökkenni. Az elektromos fogyasztás a hőveszteséget pótolja, a költsége tehát \(\displaystyle t^*\) idő alatt
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle F_2=k\,\lambda T_0\,t^*.\) |
(3) és (4) összevetéséből kapjuk, hogy \(\displaystyle F_1=F_2\) akkor teljesül, ha
\(\displaystyle t^*=\frac{1}{\lambda}\approx 10\,\textrm{nap}.\)
Megjegyzés. Tehát ha 10 napnál tovább nem használunk melegvizet, akkor jobban megéri kikapcsolni a bojlert, és szükség esetén visszakapcsolni.
Statistics:
21 students sent a solution. 5 points: Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Csipkó Hanga Zoé , Erdélyi Dominik, Kiss 131 Adorján Timon, Molnár Lili, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 2 points: 3 students. 1 point: 5 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2025