Problem P. 5648. (April 2025)

P. 5648. Consider \(\displaystyle N\) distinct points in the space. Connect each point to all the others with the same resistors of resistance \(\displaystyle R\). What is the equivalent resistance between any two points?

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Válasszuk ki először egy tetszőleges \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontot. Ezek után kössük össze az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontot közvetlenül egy ellenállással, ezt egyféleképpen tehetjük meg. Majd kössük össze őket két-két ellenállással úgy is, hogy a két-két ellenállás középső pontja minden esetben a maradék \(\displaystyle N-2\) pont valamelyike legyen. Készítsük el mind az \(\displaystyle N-2\) ilyen összekötést. Ekkor az \(\displaystyle N-2\) pont mindegyike \(\displaystyle U/2\) potenciálú lenne, ha az \(\displaystyle AB\) pontokra \(\displaystyle U\) feszültséget kapcsolnánk. Tehát ha ezek után feltöltjük a teljes gráfot (azaz összekötjük a maradék \(\displaystyle N-2\) pontot páronként egymással), akkor az előzőek szerint mindig azonos potenciálú pontokat kötünk össze. Így ezek már nem változtatják meg az eredő ellenállást, hiszen feszültség rákapcsolása esetén nem folyik rajtuk áram, mintha ott sem lennének.

Végül is lesz \(\displaystyle N-2\) darab \(\displaystyle 2R\) nagyságú ellenállás párhuzamosan, és ezekhez még egy \(\displaystyle R\) ellenállás csatlakozik párhuzamosan, amiből az eredő ellenállás

Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:	Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Erdélyi Dominik, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Kovács Tamás, Simon János Dániel, Sipos Márton, Sütő Áron, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta.
4 points:	Kis Boglárka 08, Vértesi Janka.
2 points:	8 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2025