Problem P. 5649. (April 2025)

P. 5649. Peter wears glasses with a power of \(\displaystyle -4\) dioptres and can see objects that are at least 25 cm away clearly. How far away can Peter see objects clearly when he takes off his glasses?

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Péter rövidlátó, ami azt jelenti, hogy szemüveg nélkül csak egy bizonyos távolságig lát tisztán. A tisztánlátás és a homályosan látás tartományát elválasztó helyet távolpontnak nevezzük. Péter \(\displaystyle -4\) dioptriás szemüvegével a végtelen messze lévő tárgyakat azért látja tisztán, mert a szemüvege a végtelen messzi tárgyakat Péter távolpontjába képezi le. Ezt a képpontot jelöljük \(\displaystyle k_\textrm{táv}\)-val, amire a következő egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle D=-4=\frac{1}{f}=\frac{1}{\infty}+\frac{1}{k_\textrm{táv}}\qquad\Rightarrow\qquad k_\textrm{táv}=-\frac{1}{4}\,\mathrm{m}=-25\,\mathrm{cm}.\)

A negatív előjelnek az a magyarázata, hogy a szemüveg látszólagos képet állít elő (a kép a lencse előtt jelenik meg). Tehát Péter távolpontja 25 cm, vagyis csak ennél közelebbi tárgyakat lát tisztán szemüveg nélkül.

Szemüveggel viszont éppen ez a 25 cm felel meg Péter közelpontjának. Ez azt jelenti, hogy ha a tárgyat a szemtől 25 cm-re tesszük, akkor a szemüveg által előállított kép Péter valódi (szemüveg nélküli) \(\displaystyle k_\textrm{köz}\) közelpontjában jelenik meg:

\(\displaystyle D=-4=\frac{1}{f}=\frac{1}{0{,}25\,\mathrm{m}}+\frac{1}{k_\textrm{köz}}\qquad\Rightarrow\qquad k_\textrm{köz}=-\frac{1}{8}\,\mathrm{m}=-12{,}5\,\mathrm{cm}.\)

A negatív előjel megint azt mutatja, hogy a szemüveg által előállított kép látszólagos. Péter tehát szemüveg nélkül csak a 12,5 cm-től 25 cm-ig terjedő tartományban lát tisztán. Szemüveggel viszont akármilyen messze jól lát, aminek az az ára, hogy a közelpontja a duplájára nő.

Megjegyzések. 1. A 25 cm-es távolságot tekintjük standard közelpontnak (a tisztánlátás normál távolságának), vagyis közmegegyezés szerint korrekcióra nem szorulónak tekintik azt, aki 25 cm-től végtelenig lát tisztán.

2. Főleg fiatal korban az emberek szeme olyan erős, hogy rövid ideig képesek szabad szemmel élesen látni a 10 cm-nél közelebbi tárgyakat is.

3. A feladatban rejtve azt is kihasználtuk, hogy a szemüveglencse közvetlenül a szemlencse előtt van. Ez azonban csak a kontaktlencsék esetében teljesül. Ha a szem korrekciója kontaktlencsével történik, akkor a szögnagyítás ugyanakkora marad, tehát a tárgyakat se nagyobbnak, se kisebbnek nem látjuk. A közönséges szemüvegek esetében van egy kis távolság a szem és a lencse között, ezért negatív lencsékkel kissé kisebbnek, pozitív lencsékkel pedig kissé nagyobbnak látjuk a tárgyakat.

Statistics:

25 students sent a solution.
4 points:	Elekes Panni.
2 points:	10 students.
1 point:	12 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2025