Problem P. 5650. (April 2025)
P. 5650. There is a little demon in a sample of helium gas, which is at standard temperature and pressure. The little demon selects a cube with side length of 1 nm and counts from time to time the number of nuclei of atoms in the cube. What is the probability of finding zero, one or two nuclei in the cubic region?
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A megadott állapotban 1 mol ideális gáz \(\displaystyle 0{,}02479\,\mathrm{m^3}\) térfogatot foglal el. A részecskék száma a teljes térfogatban \(\displaystyle N\), melyek normál állapotban
\(\displaystyle V=N\cdot\frac{0{,}02479\,\mathrm{m^3}}{6{,}022\cdot 10^{23}}=N\cdot 41{,}17\,\mathrm{nm^3}\)
térfogatot töltenek be. A \(\displaystyle v=1\,\mathrm{nm^3}\) térfogatú térrészben a részecskék száma változhat, ennek a számnak az \(\displaystyle n\) várható értéke azonban a teljes részecskeszám \(\displaystyle \tfrac{v}{V}\)-szerese kell legyen, mert, ha felosztjuk a teljes térfogatot \(\displaystyle \tfrac{V}{v}\) darab egyforma tartományra, ez a várható érték mindegyik térrészben egyforma, összegüknek pedig ki kell adni a teljes részecskeszámot. Esetünkben
\(\displaystyle n=N\cdot\frac{1\,\mathrm{nm^3}}{N\cdot 41{,}17\,\mathrm{nm^3}}\approx 0{,}02429.\)
A standardállapotú héliumot ideális gáznak tekinthetjük, melyben a részecskék egymástól függetlenül szabadon bolyonganak a rendelkezésre álló \(\displaystyle V\) térfogatban. Egy kiválasztott atom előfordulásának valószínűsége a \(\displaystyle v\) térrészben:
\(\displaystyle \frac{v}{V}=\frac{n}{N},\)
így annak a valószínűsége, hogy nincs ott \(\displaystyle 1-\tfrac{n}{N}\). Annak pedig, hogy az N részecske közül egy sincs ott:
\(\displaystyle \left(1-\frac{n}{N}\right)^N=\left(\left(1-\frac{n}{N}\right)^{\frac{N}{n}}\right)^{n}\to\mathrm{e}^{-n}.\)
Az utolsó lépésben elvégeztük az \(\displaystyle N\to\infty\) határátmenetet, melynek során felhasználtuk a
\(\displaystyle \left(1-\frac{1}{a}\right)^a\to\mathrm{e}^{-1},\quad\textrm{ha}\quad a\to\infty\)
összefüggést.
Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott atom a \(\displaystyle v\) térrészben legyen, a többi pedig nem:
\(\displaystyle \frac{n}{N}\left(1-\frac{n}{N}\right)^{N-1}.\)
Annak pedig, hogy az \(\displaystyle N\) atom közül az egyik ott legyen, a többi pedig nem:
\(\displaystyle N\frac{n}{N}\left(1-\frac{n}{N}\right)^{N-1}\to n\mathrm{e}^{-n}.\)
Általában annak a valószínűsége, hogy \(\displaystyle N\) atom közül \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle v\) térrészben legyen, a többi pedig nem:
$$\begin{gather*} \binom{N}{k}\left(\frac{n}{N}\right)^k\left(1-\frac{n}{N}\right)^{N-k}=\frac{N(N-1)\cdots(N-k+1)}{k!}\left(\frac{n}{N}\right)^k\left(1-\frac{n}{N}\right)^{N-k}=\\ =\frac{1}{k!}n^k\left(1-\frac{n}{N}\right)^{N}\left(1-\frac{1}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{N}\right)\left(1-\frac{n}{N}\right)^{-k}\to\frac{1}{k!}n^k\mathrm{e}^{-n}, \end{gather*}$$mert az első kivételével az összes zárójeles kifejezés 1-hez tart, ha \(\displaystyle N\to\infty\).
A feladatban kérdezett 0, 1, illetve 2 atom előfordulásának valószínűsége tehát:
\(\displaystyle \mathrm{e}^{-n}\approx 0{,}9760,\quad n\mathrm{e}^{-n}\approx 0{,}0237,\quad\frac{1}{2}n^2\mathrm{e}^{-n}\approx 0{,}0003.\)
Megjegyzések. 1. Mivel esetünkben \(\displaystyle n\ll 1\), annak a valószínűsége, hogy a \(\displaystyle v\) térfogatú térészben egy atom van, jó közelítéssel \(\displaystyle n\), annak pedig, hogy egy se \(\displaystyle 1-n\). Ekkor a két érték kiszámításánál nem törődtünk azzal, hogy egyszerre több részecske is lehet a térfogatrészben. Ebben a közelítésben annak a valószínűsége, hogy két részecske is ott van \(\displaystyle \tfrac{1}{2}n^2\), amit úgy kapunk meg, hogy az egy részecske valószínűségét a négyzetre emeljük, és osztjuk 2-vel, mert a részecskék megkülönböztethetetlenek (a sorrendjük nem számít). Az így kiszámított valószínűségek 4 tizedesre:
\(\displaystyle 1-n\approx 0{,}9757,\quad n\approx 0{,}0243,\quad \frac{1}{2}n^2\approx 0{,}0003,\)
amelyek legfeljebb a 4. tizedesben térnek el az egzakt megoldástól (viszont az összegük kicsit több, mint 1).
2. Elhanyagoltuk a He atomok méretét (atom-sugaruk \(\displaystyle 0{,}031\,\mathrm{nm}\)), mert az első atom csak \(\displaystyle 0{,}00012\,\mathrm{nm^3}\)-rel csökkenti a második számára rendelkezésre álló helyet.
Statistics:
17 students sent a solution. 5 points: Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Erdélyi Dominik, Simon János Dániel. 4 points: Elekes Panni, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Kis Boglárka 08, Sipos Márton, Tóthpál-Demeter Márk, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, April 2025