Problem P. 5655. (May 2025)

P. 5655. Two identical sound sources at a distance of \(\displaystyle d\) from each other emit sound waves of wavelength \(\displaystyle \lambda\) in the same phase. The waves are detected by a receiver at a point on the circumference of a circle of radius \(\displaystyle R\). The two sound sources are symmetrically positioned with respect to the centre of the circle. Where are the points at which the waves from the two sound sources reinforce each other if \(\displaystyle d=2\lambda\) and \(\displaystyle R\gg d\)?

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Maximális erősítés azokban a pontokban van, ahova a két forrásból érkező hullámok azonos fázisban érkeznek, azaz a két út különbsége a hullámhossz egész számú többszöröse.

Az ábra jelöléseivel

\(\displaystyle r_1-r_2=n\lambda,\)

azaz, az \(\displaystyle r\)-eket a koszinusz tétel segítségével kifejezve

\(\displaystyle \sqrt{R^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2-Rd\cos\vartheta}-\sqrt{R^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2+Rd\cos\vartheta}=n\lambda.\)

Ebből jól megválasztott négyzetre emelések után a \(\displaystyle \cos\vartheta\) kifejezhető:

\(\displaystyle \cos\vartheta=\sqrt{1+\left(\frac{d}{2R}\right)^2-\left(\frac{n\lambda}{2R}\right)^2}\left(\frac{n\lambda}{d}\right).\)

Feladatunkban \(\displaystyle R\gg d,\lambda\), tehát a négyzetgyök alatti törtek jó közelítéssel elhagyhatók az egy mellett, így

\(\displaystyle \cos\vartheta\cong\frac{n\lambda}{d}.\)

Ennek \(\displaystyle \vartheta\)-ra a \(\displaystyle \lambda/d=1/2\) miatt csak \(\displaystyle n=0,\,\pm 1\,\textrm{és}\,\pm 2\) mellett van megoldása. A lehetséges szögek (irányok) tehát \(\displaystyle \vartheta=0,\,\pm\pi/3,\,\pm\pi/2,\,\pm 2\pi/3\,\textrm{és}\,\pi\). A megfelelő pontokat az ábrán piros körökkel jelöltük.

Megjegyzés. Az első egyenletünkkel azonos szerkezetű \(\displaystyle \left|r_1-r_2\right|=2a\) egyenletek olyan hiperbolákat határoznak meg, amelyek két fókuszpontja a két hangforrás (\(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2\)), azaz \(\displaystyle d=2c\). Általános \(\displaystyle R\) mellett a keresett pontok az \(\displaystyle a=n\lambda/2\)-vel megadható hiperbolák és a kör metszéspontjai. \(\displaystyle R\gg c\) esetén a hiperbolák a végérintőikkel helyettesíthetők. Esetünkben csak az \(\displaystyle n=\pm 1\) által meghatározott (\(\displaystyle a=c/2\) valós tengelyű) hiperbola-pár ,,normális", az \(\displaystyle n=0\)-hoz, és az \(\displaystyle n=\pm 2\)-höz tartozó hiperbolák, amikor is \(\displaystyle a=0\) illetve \(\displaystyle a=c\), elfajultak.

Statistics:

17 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Blaskovics Ádám, Fekete Lúcia, Klement Tamás, Molnár Lili, Ujpál Bálint.
3 points:	Pituk Péter, Varga 802 Zsolt, Vértesi Janka, Zámbó Luca.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, May 2025