Problem P. 5658. (May 2025)
P. 5658. If a spherical body (e.g. a large steel ball) is placed in an empty bowl and a photo is taken, a circle appears in the image (regardless of the direction in which it was photographed) (Figure 1 = 1. ábra). If the bowl is filled with enough water to slightly cover the ball and then a new image is taken, the image will appear as an ellipse (Figure 2 = 2. ábra). From Figure 3 = 3. ábra, which shows the ball enlarged, the scale of the distortion can be easily read. Determine the angle of the camera's principal axis with the horizontal when the picture was taken. (The distance between the camera and the ball is much larger than the diameter of the ball.)
(5 pont)
Deadline expired on June 16, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A fényképen a golyó képének méretét a fényképezőgépbe jutó fénysugarak legnagyobb szögeltérése határozza meg.
Tekintsük azokat a fénysugarakat, amelyek a golyó középpontjára és a fényképezőgép kamerájára illeszkedő, függőleges síkban haladnak. Ezek közül a fényképezőgépbe érkezve azok zárnak be legnagyobb szöget egymással, amelyeknek a vízben haladó része éppen érinti az \(\displaystyle R\) sugarú golyó kör alakú síkmetszetét. Az 1. ábrán és annak kinagyított részletén, a 2. ábrán a ,,szélső'' fénysugarakat és azok töréspontjait ábrázoltuk (a jobb láthatóság érdekében erősen torzított méretarányokkal.)
1. ábra
Legyen a fényképezőgép \(\displaystyle C\) kamerájának és a vízből kilépő egyik fénysugár \(\displaystyle E\) töréspontjának távolsága \(\displaystyle EC=d\), a kamerába érkező fénysugarak (radiánban mért) szöge pedig \(\displaystyle \Delta\alpha=BCE\angle\). Mivel \(\displaystyle d\gg R\), állíthatjuk, hogy \(\displaystyle \Delta\alpha\ll 1\).
2. ábra
A fénysugarak a vízfelülethez érve megtörnek. Ha a beesési szögek \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \beta-\Delta\beta\), a törési szögek pedig \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \alpha-\Delta\alpha\), akkor a Snellius–Descartes-törvény szerint fennáll
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n,\) |
valamint
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{\sin(\alpha-\Delta\alpha)}{\sin(\beta-\Delta\beta)}=n,\) |
ahol \(\displaystyle n=\frac{4}{3}\) a víz törésmutatója.
A (2) egyenletből következik, hogy \(\displaystyle \Delta\beta\ll 1\), és emiatt az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle DQ\) egyenesek majdnem párhuzamosak, tehát a \(\displaystyle BQ\) távolság jó közelítéssel \(\displaystyle 2R\)-nek vehető. Másrészt a \(\displaystyle PE\) távolság jól közelíthető a \(\displaystyle d\) sugarú és \(\displaystyle \Delta\alpha\) szögű körív hosszával, azaz \(\displaystyle PE\approx d\,\Delta\alpha.\)
A \(\displaystyle BE\) szakasz hossza (az említett közelítésekkel) kétféle képen is kiszámítható:
\(\displaystyle BE=\frac{PE}{\cos\alpha}=\frac{d\,\Delta\alpha}{\cos\alpha},\)
másrészt
\(\displaystyle BE=\frac{BQ}{\cos\beta}=\frac{2R}{\cos\beta}.\)
Ezek szerint a fényképezőgépbe érkező fénysugarak látószöge
\(\displaystyle \Delta\alpha=\frac{2R}{d}\,\frac{\cos\alpha}{\cos\beta},\)
ami (1) felhasználásával így is írható:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \Delta\alpha=\frac{2R}{d}\sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\frac{\sin^2\alpha}{n^2}}}.\) |
A fényképen a golyó ,,függőleges mérete'' ezzel a látószöggel arányos.
Határozzuk meg a golyó képének ,,vízszintes'' méretét is. A 3. ábra felülnézetből mutatja a golyó felületéről induló és a fényképezőgépbe érkező két szélső fénysugarat. Ezek a sugarak a víz felszínénél (az \(\displaystyle U\) és \(\displaystyle V\) pontoknál) megtörnek, de ez a vetületi ábrán nem látszik.
3. ábra
A fényképezőgépbe a két fénysugár valamekkora \(\displaystyle \Delta\varphi\) szögeltéréssel érkezik, a kép vízszintes mérete ezzel a látószöggel arányos. Mivel \(\displaystyle d\gg R\), nyilván \(\displaystyle \Delta\varphi\ll 1,\) és így \(\displaystyle UV\approx 2R,\) tehát jó közelítéssel
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \Delta\varphi=\frac{2R}{d}.\) |
A golyó képének torzítása a
\(\displaystyle K=\frac{\textrm{függőleges méret}}{\textrm{vízszintes méret}}=\frac{\Delta\alpha}{\Delta\varphi}\)
arányszámmal jellemezhető. (3) és (4) felhasználásával kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (5).\) | \(\displaystyle K=\sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\frac{\sin^2\alpha}{n^2}}}.\) |
Függőlegesen lefelé fényképezve a golyót \(\displaystyle \alpha=0,\) ilyenkor \(\displaystyle K=1,\) tehát a képe kör. Ugyancsak torzításmentes lenne a kép minden \(\displaystyle \alpha\)-ra, ha a törésmutató \(\displaystyle n=1\) lenne, vagyis ha a tálban nem volna víz. Ezt a helyzetet mutatja a kitűzés 1. ábrája. Ugyanezen az ábrán ellenőrizhetjük, hogy nem torzít-e a fényképezőgépünk vagy a monitor, esetleg a nyomtatónk. (Nem tapasztaltunk ilyen hibát.)
Esetünkben \(\displaystyle n=4/3\), és így az \(\displaystyle \alpha\) szög szinusza (5)-ből kifejezve
\(\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{\frac{1-K^2}{1-\frac{9}{16}K^2}}.\)
A feladat kitűzési 3. fényképéről lemérhetők a golyó képének méretei, és ebből kiszámítható, hogy \(\displaystyle K\approx 0{,}76\pm 0{,}02\), és ennek megfelelően (5) szerint
\(\displaystyle \sin\alpha=0{,}79,\qquad\textrm{tehát}\qquad\alpha\approx 52^\circ.\)
A fényképezőgép kamerájának optikai tengelye tehát \(\displaystyle 90^\circ-\alpha=38^\circ\)-os szöget zár be a vízszintessel.
Statistics:
8 students sent a solution. 5 points: Sütő Áron. 4 points: Beke Márton Csaba, Ujvári Sarolta. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2025