Problem P. 5664. (September 2025)
P. 5664. We often hear that the melting ice at the poles slows down the Earth's rotation around its axis. Estimate the order of magnitude of this phenomenon. Antarctica can be considered to have an area of \(\displaystyle 14~\mathrm{million~km}^2\), and the Arctic ice sheet has the same size. Investigate that cases when the thickness of ice decreases by 1 m due to melting at the South Pole or at the North Pole.
a) By what amount does sea level change in one case and the other?
b) How much does the length of an Earth day change?
(5 pont)
Deadline expired on October 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) I. Az Antarktisz jégtakarójának területe \(\displaystyle A_\mathrm{j}=14\,\mathrm{millió\,km^2}=1{,}4\cdot 10^{13}\,\mathrm{m^2}\). A \(\displaystyle d_\mathrm{j}=1\,\mathrm{m}\) vastag, elolvadó jég tömege \(\displaystyle m_\mathrm{j}=A_\mathrm{j}d_\mathrm{j}\varrho_\mathrm{j}=1{,}28\cdot 10^{16}\,\mathrm{kg}\), ahol \(\displaystyle \varrho_\mathrm{j}=917\,\mathrm{kg/m^3}\) a jég sűrűsége. Ez elolvadva
\(\displaystyle V_\mathrm{v}=\frac{m_\mathrm{j}}{\varrho_\mathrm{v}}=1{,}28\cdot 10^{13}\,\mathrm{m^3}\)
vizet jelent, amely egyenletesen elterül a világtengereken. (\(\displaystyle \varrho_\mathrm{v}=1000\,\mathrm{kg/m^3}\) a víz sűrűsége.) A Föld teljes felszíne \(\displaystyle A_\mathrm{F}\approx 4\pi R_\mathrm{F}^2=5{,}1\cdot 10^{14}\,\mathrm{m^2}\) (ahol \(\displaystyle R_\mathrm{F}=6{,}37\cdot 10^6\,\mathrm{m}\) a Föld közepes sugara). Ennek kicsit kevesebb, mint egy harmada, \(\displaystyle 29{,}2\%\)-a a szárazföldek területe, így a tengerek összterülete \(\displaystyle A_\mathrm{t}=(1-0{,}292)A_\mathrm{F}\approx 3{,}6\cdot 10^{14}\,\mathrm{m^2}\). Ezek alapján a tengerszint emelkedése az antarktiszi jégréteg elolvadása miatt
\(\displaystyle \Delta h_\mathrm{t}=\frac{V_\mathrm{v}}{A_\mathrm{t}}\approx 3{,}5\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}=3{,}5\,\mathrm{cm}.\)
Megjegyzések. 1. A meleg víz hőtágulásával nem számolunk, hiszen nincsenek arra adataink, hogy a világtengerek különböző részein milyen hőmérsékletű a tenger felszíne.
2. Az Antarktisz jégtakarójának átlagos vastagsága \(\displaystyle 2{,}16\,\mathrm{km}\), így ha a teljes jégtakaró elolvadna, akkor a tengerszint emelkedése – csak az Antarktisz miatt – ennek több mint 2000-szerese, azaz kb. \(\displaystyle 75\,\mathrm{m}\) lenne.
II. A feladat szövege szerint az Arktisz jégtakarójának területét tekintsük ugyanekkorának. Így az elolvadó jég tömege és a keletkező víz térfogata is megegyezik az Antarktisz esetében számolt értékkel. Azonban az Arktiszon nincs szárazföld, a jég a tengeren úszik, és így pontosan akkora térfogatú vizet szorít ki, mint amekkora a tömege. Emiatt az itt elolvadó jég nem változtatja meg a tengerszintet.
b) A sarkokon elhelyezkedő jégtakarót kör alakúnak feltételezve a sugara
\(\displaystyle r_\mathrm{j}=\sqrt{\frac{A_\mathrm{j}}{\pi}}=2{,}1\cdot 10^6\,\mathrm{m},\)
és így a pereme a déli, illetve északi
\(\displaystyle \varphi=90^\circ-\frac{180^\circ}{\pi}\,\frac{r_\mathrm{j}}{R_\mathrm{F}}\approx 71^\circ\)
szélességi körön helyezkedik el. Ennek a szélességi körnek a síkja mindössze a Föld sugarának 5%-ára van a sarkoktól, így a gömbsüveg helyett – a megoldásunk közelítésében – számolhatunk körlappal. Így a \(\displaystyle d_\mathrm{j}=1\,\mathrm{m}\) vastag jégréteg tehetetlenségi nyomatéka:
\(\displaystyle \Theta_\mathrm{j}=\frac{1}{2}m_\mathrm{j}r_\mathrm{j}^2=\frac{\pi}{2}\varrho_\mathrm{j}d_\mathrm{j}r_\mathrm{j}^4=2{,}8\cdot 10^{28}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
I. Az Antarktisz esetében ez a jégtömeg elolvadás után egyenletesen eloszlik a világtengereken. A kontinensek eloszlása nem egyenletes, de a megoldásunk közelítésében vehetjük úgy, hogy a tömeg egyenletesen oszlik el a Föld felszínén, azaz egy nagyon vékony gömbhéjként vehető figyelembe. Ennek tehetetlenségi nyomatéka:
\(\displaystyle \Theta_\mathrm{v}=\frac{2}{3}m_\mathrm{j}R_\mathrm{F}^2=3{,}46\cdot 10^{29}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
Eszerint a tehetetlenségi nyomaték változása:
\(\displaystyle \Delta\Theta=\Theta_\mathrm{v}-\Theta_\mathrm{j}=3{,}18\cdot 10^{29}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
A Föld tehetetlenségi nyomatéka – a Földet durva közelítéssel \(\displaystyle m_\mathrm{F}=5{,}97\cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}\) tömegű homogén gömbnek tekintve:
\(\displaystyle \Theta_\mathrm{F}=\frac{2}{5}m_\mathrm{F}R_\mathrm{F}^2=9{,}7\cdot 10^{37}\,\mathrm{kg\,m^2}.\)
A föld \(\displaystyle \Theta\omega\) perdülete állandó, így ha a Föld tehetetlenségi nyomatéka (nagyon) kis mértékben megnő, akkor a szögsebessége ugyanilyen arányban csökken, a napok \(\displaystyle T=\tfrac{2\pi}{\omega}\) hossza pedig ugyanilyen arányban megnő. Eszerint az antarktiszi jégréteg elolvadása miatt a napok átlagos hossza
\(\displaystyle \Delta T=\frac{\Delta\Theta}{\Theta_\mathrm{F}}T=3{,}3\cdot 10^{-9}\,T=2{,}8\cdot 10^{-4}\,\mathrm{s}=0{,}28\,\mathrm{ms}\)
időtartammal megnövekszik.
II. Az Arktisz esetében az előző rész gondolatmenete alapján nem történik változás.
Statistics:
26 students sent a solution. 5 points: Erdélyi Dominik, Tasnádi Zsófia. 4 points: Békési Máté, Bogdán Balázs Ákos, Kovács Tamás , Kovács Tamás, Rajtik Sándor Barnabás, Ruzsics Gréta, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 6 students. 2 points: 2 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, September 2025