Problem P. 5665. (September 2025)
P. 5665. In a cylinder of volume \(\displaystyle 2~\mathrm{dm}^3\), a piston is enclosing air at a pressure of \(\displaystyle 200~\mathrm{kPa}\). Both the cylinder and the piston are made of a material with very poor thermal conductivity (e.g. glass). The piston is suddenly pulled and then locked when the volume of the enclosed air increased to \(\displaystyle 4~\mathrm{dm}^3\).
a) What is the minimum temperature to which the gas can cool from the initial \(\displaystyle 300~\mathrm{K}\)?
b) After a long time of waiting, the enclosed air warms up to the initial temperature. What is the maximum heat absorbed by the enclosed air during this time?
(4 pont)
Deadline expired on October 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) A henger és a dugattyú is nagyon rossz hővezető anyagból készült, így, ha a dugattyút gyorsan mozgatjuk, a folyamat közelítőleg adiabatikus. Eszerint
\(\displaystyle TV^{\kappa-1}=\textrm{állandó},\)
ahol \(\displaystyle \kappa=1{,}4\) a levegő fajhőhányadosa. Ebből a keresett minimális hőmérséklet:
\(\displaystyle T_\mathrm{min}=\left(\frac{V_0}{V_\mathrm{max}}\right)^{\kappa-1}T_0=\left(\frac{1}{2}\right)^{0{,}4}\cdot 300\,\mathrm{K}=227\,\mathrm{K}.\)
Megjegyzés. Amennyiben a dugattyút lassabban mozgatjuk, a folyamat során a gáz a hővezetés miatt felvesz valamennyi hőt, és kevésbé hűl le.
b) A gáz belső energiája a hőmérséklet függvényében:
\(\displaystyle E=\frac{f}{2}nRT,\)
ahol \(\displaystyle f=5\) a levegőben lévő kétatomos molekulák szabadsági fokainak száma és
\(\displaystyle nR=\frac{p_0V_0}{T_0}.\)
A rögzített dugattyú esetén a gáz belső energiája csak a hőfelvétel miatt változhat, így
\(\displaystyle Q_\mathrm{max}=\frac{f}{2}nR(T_0-T_\mathrm{min})=\frac{f}{2}\frac{p_0V_0}{T_0}(T_0-T_\mathrm{min})=242\,\mathrm{J}.\)
Megjegyzés. Amennyiben az a) részben leírtak szerint a dugattyú kirántása lassabb, és a gáz kevésbé hűl le, akkor a hőfelvétel is kisebb lesz.
Statistics:
48 students sent a solution. 4 points: Bélteki Teó, Bense Tamás, Bogdán Balázs Ákos, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Gombos Domokos-Adrián, Gyenes Károly, Hajdu Eszter, Hammer Kristóf, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Monori Bence, Murányi Nimród Máté, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Ruzsics Gréta, Simon János Dániel, Szabó Tamás, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Winhoffer Júlia, Wolf Erik, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: Chen Yu, Ferencz Kevin, Fuchs Vince, Hornok Máté, Kocsán Bence János, Tasnádi Zsófia, Vincze Anna. 2 points: 4 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, September 2025