Problem P. 5666. (September 2025)
P. 5666. The charge of the plates of a parallel plate capacitor is changed. Initially the voltage between the plates is \(\displaystyle U_0\). The charge of the positive plate is increased by a factor of three and the charge of the negative plate is halved. What will the voltage between the plates be?
(4 pont)
Deadline expired on October 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Szokásos körülmények között a kondenzátor két lemezének össztöltése nulla. Ha a kondenzátor kapacitása \(\displaystyle C\) és a lemezek közötti feszültség \(\displaystyle U_0\), akkor a lemezek töltése \(\displaystyle Q_0=CU_0\). Az 1. ábra vázlatosan mutatja a kialakuló elektrosztatikus mezőt. (Ha a lemezek nagyon közel vannak egymáshoz, a széleffektusokat és a szórt elektromos teret elhanyagolhatjuk, de ezt a közelítést az alábbiakban nem fogjuk használni.)
1. ábra
Tekintsük most azt az állapotot, amelyben mindkét lemezen azonos előjelű és ugyanakkora \(\displaystyle Q^*\) nagyságú töltés található (2. ábra). Ezek a töltések az egyensúlyi állapotban főleg a lemezek külső oldalán helyezkednek el, de nem egyenletes eloszlásban, hanem a lemez széleihez közeledve egyre sűrűbben, és a lemezek közötti térrészben is lehet valamilyen elektromos mező.
2. ábra
Az egész mező pontos alakját nem ismerjük (szerencsére nincs is szükségünk erre), de azt biztosan állíthatjuk, hogy a lemezek felezősíkjára nézve tükörszimmetrikus. Emiatt a két lemez potenciálja ugyanakkora, a lemezek között nem alakul ki feszültség.
A szuperpozíció elve szerint, ha valamilyen elrendezésben a töltések egyensúlyban vannak a fémfelületeken, akkor valamennyi töltést arányosan (mondjuk \(\displaystyle \lambda\)-szorsára) megnövelve ismét egyensúlyi elrendezést kapunk, amelyben a térerősségek és a potenciálkülönbségek mindenhol az eredeti értékek \(\displaystyle \lambda\)-szorosai. Továbbá az is igaz, hogy két egyensúlyi töltéselrendezést összeadva ismét egyensúlyi töltéselrendezést kapunk, és ebben a térerősségek, illetve a potenciálok bármely helyen az ottani eredeti értékek vektori, illetve skalár összegei.
Nevezzük az 1. ábrán látható töltéselrendezést 1-esnek, a 2. ábrán láthatót pedig 2-esnek. Képezzük ezek után az 1-es állapot \(\displaystyle \lambda\)-szorosának és a 2-es állapotnak a szuperpozícióját, és válasszuk \(\displaystyle \lambda\)-t és \(\displaystyle Q^*\)-t úgy, hogy a szuperpozíció után a lemezek töltése a feladat szövegében megadott érték legyen (3. ábra).
3. ábra
Fennáll tehát:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \lambda Q_0+Q^*=3Q_0,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle -\lambda Q_0+Q^*=-\frac12Q_0.\) |
Az (1) egyenletből (2)-t kivonva kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2\lambda Q_0=\left(3+\frac12\right)Q_0,\)
vagyis \(\displaystyle \lambda=\frac{7}{4}\). A potenciálkülönbségek szuperpozíciója, vagyis a keresett feszültség:
\(\displaystyle U=U_1+U_2=\lambda\,U_0+0=\frac{7}{4}\,U_0.\)
Megjegyzés. A szuperpozíció elvének alkalmazásakor lényeges, hogy a fémfelületek a szuperpozíció minden tagjánál ugyanott helyezkedjenek el, és a töltések rajtuk egyensúlyi állapotban legyenek. Sok tankönyvben szerepel az a hibás ábra, amelyben egy síkkondenzátor elektrosztatikus terét egy-egy magában álló pozitív és negatív töltésű fémlap (homogénnek tekintett) erőterének összegeként próbálják előállítani. Ez két ok miatt is hibás! Egyrészt egyetlen feltöltött lemez elektromos tere a lemez két oldalán még a lemez közvetlen közelében sem homogén, hanem a 2. ábrán láthatóhoz hasonló, ha a lemezek távolságát nullára csökkentjük. Másrészt ebben az elrendezésben a ,,szuperpozíció'' két tagjában és az eredményben nem ugyanazok a fémlemezek vesznek részt, sőt még a darabszámuk is eltér egymástól.
II. megoldás. Ha az egyik (1-es jelű) lemezt Q=1 egységnyi töltéssel látjuk el, akkor a potenciálja valamekkora \(\displaystyle x\) értékre nő, a másik lemez potenciálja pedig valamekkora \(\displaystyle y\) lesz. (\(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) nagysága a lemezek geometriai adataiból és a távolságukból elvben kiszámítható, de a konkrét értékükre a továbbiakban nem lesz szükségünk.) Ha csak a 2. lemezt töltjük fel egységnyi töltéssel, akkor a szerepek megcserélődnek, az 1. lemez potenciálja lesz \(\displaystyle y\), és a \(\displaystyle 2.\) lemezé \(\displaystyle x\) (4. ábra).
4. ábra
Ha a lemezeket nagyobb töltéssel látjuk el, a potenciálok is arányosan nagyobbak lesznek, és ha mindkét lemezen vannak töltések, a potenciálok összeadódnak. Ez a szuperpozíció elvvel egyenértékű, de annak a korábbiakban leírttól kicsit eltérő megfogalmazása. Több elektromosan töltött fémfelületnél a potenciálok és töltések kapcsolatáról (az ú.n. kapacitásmátrixról) további érdekességek olvashatók a KöMaL 2019. évi októberi számában megjelent cikkben (Woynarovich Ferenc: Kapacitások összetett rendszerekben).
A szokásos, \(\displaystyle \pm Q_0\) töltésű kondenzátor lemezeinek potenciálja (5. ábra)
\(\displaystyle \Phi_1=xQ_0-yQ_0\qquad\textrm{és}\qquad\Phi_2=yQ_0-xQ_0,\)
a lemezek közötti potenciálkülönbség (a kondenzátor feszültsége)
\(\displaystyle U_0=\Phi_1-\Phi_2=2(x-y)Q_0.\)
5. ábra
Ha most az 1. lemez töltését \(\displaystyle 3\,Q_0\)-ra növeljük, a másikét pedig \(\displaystyle -\tfrac{1}{2}Q_0\)-ra változtatjuk (6. ábra), akkor a lemezek potenciálja:
\(\displaystyle \Phi_1'=3xQ_0-\frac{1}{2}yQ_0\qquad\textrm{és}\qquad\Phi_2'=-\frac{1}{2}xQ_0+3yQ_0,\)
a lemezek közötti potenciálkülönbség (a kondenzátor feszültsége)
\(\displaystyle U=\Phi_1'-\Phi_2'=\frac{7}{2}(x-y)Q_0=\frac{7}{2}\cdot\frac{U_0}{2}=\frac{7}{4}U_0.\)
6. ábra
A fémlemezek közötti feszültség tehát az eredeti érték \(\displaystyle \frac{7}{4}\)-szerese lesz. Ez az eredmény nem csak az elhanyagolható szórt terű síkkondenzátorokra érvényes, hanem bármilyen alakú és tetszőleges távolságú fémdarabokra is igaz.
Statistics:
33 students sent a solution. 4 points: Bélteki Teó, Csáki Anikó, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Hornyák Zalán Zétény, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Misik Balázs, Simon János Dániel, Sipeki Andor, Szécsi Bence, Tajta Sára, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vigh István Csaba, Zádori Gellért. 3 points: Chen Yu, Kirst Alexander, Papp Emese Petra. 2 points: 3 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, September 2025