Problem P. 5667. (September 2025)
P. 5667. The figure shows an incandescent lamp between two concave mirrors. The mirror on the right produces a parallel beam of light, while the small mirror on the left prevents a significant part of the light from the bulb to escape from this mirror arrangement, which is similar to a car's reflector.
a) Explain why this reflector produces a stronger light with the small mirror on the left than without it.
b) Use a ruler to make measurements in the figure and find the ratio of the focal lengths of the two mirrors.
c) Based on your measurements with the ruler, estimate what percentage of the light from the incandescent lamp is reflected in the parallel beam produced by the reflector without the small mirror, or with the small mirror.
(5 pont)
Deadline expired on October 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) A kis tükör a lámpa előre szóródó fényéből jelentős hányadot visszaver, és így ez a fény is bekerül a reflektor által létrehozott fénynyalábba. Ez annak ellenére növeli a reflektor teljesítményét, hogy a kis tükör bizonyos hányadot kitakar a párhuzamos fénynyalábból.
b) A kis tükör megfordítja a fénysugarakat, vagyis a lámpa izzószála a gömbtükör geometriai középpontjában van. Így közvetlenül lemérhetjük a kis tükör felületének görbületi sugarát, és ennek fele adja jó közelítéssel a kis tükör fókusztávolságát. A nagy tükör forgási paraboloid, aminek fókuszában van a lámpa izzószála. Kinyomtatott ábrán elvégzett mérések szerint a nagy tükör fókusztávolsága körülbelül 2,5-szerese a gömbtükör sugarának, vagyis a fókusztávolságok aránya körülbelül 5.
c) A számszerű eredményhez használnunk kell a térszög fogalmát, aminek a mértékegysége a szteradián (sr). A teljes térszög \(\displaystyle 4\pi\,\mathrm{sr}\), mert az egységsugarú gömb felülete \(\displaystyle 4\pi\). Másképp fogalmazva a térszöget úgy kaphatjuk meg, hogy egy \(\displaystyle r\) sugarú gömb felületén kijelöljük a vizsgált térszögnek megfelelő területet, és ezt elosztjuk \(\displaystyle r^2\)-tel. Megmutatható, hogy amennyiben egy egyenes kúp által kimetszett felületről van szó, amikor a kúp csúcsa a gömb középpontjában van (ez a leggyakoribb eset), és a kúp félnyílásszöge \(\displaystyle \varphi\), akkor a kérdéses térszög: \(\displaystyle \Omega=2\pi(1-\cos{\varphi})\). Az ábrán az eredeti ábrát speciális sugarakkal kiegészítettük, és bejelöltünk három félnyílásszöget.
Ha nem használnánk a kis tükröt, akkor a parabolatükör az \(\displaystyle \alpha\) félnyílásszögű kúpból érkező sugarakat alakítaná párhuzamos nyalábbá. A kinyomtatott ábrán szögmérővel elvégzett mérések szerint \(\displaystyle \alpha=47^\circ\). Az ehhez tartozó térszög:
\(\displaystyle \Omega_1=2\pi(1-\cos\alpha)=2{,}00\,\mathrm{sr}.\)
Ilyenkor az izzólámpa fényének \(\displaystyle \tfrac{2{,}00}{4\pi}=0{,}159\approx 16\%\)-a kerül be a párhuzamos fénynyalábba.
A kis tükör használatával az előre szóródó fényből \(\displaystyle \beta\) térszöggel verődik vissza fény, ami szintén bekerül a párhuzamos nyalábba. Azonban az \(\displaystyle \alpha\) és a \(\displaystyle \beta\) térszögű sugarakból a nagy tükörről történő visszaverődés után a kis tükör a \(\displaystyle \gamma\) térszöghöz tartozó részt kitakarja. A mérések szerint \(\displaystyle \beta=42^\circ\) és \(\displaystyle \gamma=15^\circ\). A kérdéses térszögeket (melyek megadják a nyalábba kerülő fény arányát) így számíthatjuk ki:
$$\begin{align*} \Omega_2&=(2\pi(1-\cos\alpha)-2\pi(1-\cos\gamma))+(2\pi(1-\cos\beta)-2\pi(1-\cos\gamma))=\\ &=2\pi(2\cos\gamma-(\cos\alpha+\cos\beta))=3{,}18\,\mathrm{sr}. \end{align*}$$A kis tükör segítségével az izzólámpa fényének \(\displaystyle \tfrac{3{,}18}{4\pi}=0{,}253\approx 25\%\)-a kerül be a reflektor nyalábjába.
Láthatjuk tehát, hogy a kis tükör több mint másfélszeresére növeli a reflektor fényerejét.
Megjegyzés. A fényből az izzó foglalata is kitakar valamennyit, de ezt nem vettük figyelembe a számításnál. A kis tükröt gyakran beleépítik az izzóba.
Statistics:
27 students sent a solution. 5 points: Bélteki Teó, Bús László Teodor, Sümeghi Nándor . 4 points: Beke Márton Csaba, Kovács Tamás, Ruzsics Gréta, Tajta Sára. 3 points: 9 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, September 2025