Problem P. 5668. (September 2025)
P. 5668. Deuterium is an isotope of hydrogen, with a nucleus consisting of a proton and a neutron. Compare the mass of a deuterium atom in kilograms with the sum of the masses of a proton, a neutron and an electron. What is the explanation for the difference? To make their calculations easier, nuclear physicists express this difference in the form of \(\displaystyle 2.2~\mathrm{MeV}/c^2\). Prove that this is the same as the difference you calculated! The appropriate data can be found in the table https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf.
(3 pont)
Deadline expired on October 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A táblázatokban (például: https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf) az izotópok tömegét atomi tömegegységben (u) szokás megadni, illetve sokszor használják még a MeV/\(\displaystyle c^2\) egységet is (\(\displaystyle 1\,\mathrm{MeV}=10^6\,\mathrm{eV}\)):
\(\displaystyle 1\,\mathrm{u}=1{,}660\,539\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}=931{,}494\,\mathrm{MeV/}c^2.\)
Az átváltás a tömeg-energia ekvivalenciát kifejező híres Einstein-egyenlet (\(\displaystyle E=mc^2\)), valamint az elemi töltésen 1 V hatására végzett munka \(\displaystyle 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\,177\cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}\) alapján látható be.
A proton tömege: \(\displaystyle 1{,}007\,276\,\mathrm{u}\), a neutron tömege: \(\displaystyle 1{,}008\,665\,\mathrm{u}\), míg az elektron tömege: \(\displaystyle 5{,}4858\cdot 10^{-4}\,\mathrm{u}\), és ezek összege \(\displaystyle 2{,}016\,490\,\mathrm{u}=3{,}348\,460\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}.\)
Ezzel szemben a deutérium tömege: \(\displaystyle 2{,}014\,102\,\mathrm{u}=3{,}344\,493\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}\), ami valamivel kisebb, mint az összetevők tömege. Ezt tömeghiánynak nevezzük, melynek nagysága: \(\displaystyle \Delta m=3{,}967\cdot 10^{-30}\,\mathrm{kg}=0{,}002\,388\,\mathrm{u}=2{,}224\,\mathrm{MeV/}c^2\approx 2{,}2\,\mathrm{MeV/}c^2\).
A deutérium esetében a tömeghiány kb. négy és egyharmad elektrontömegnek felel meg. Ha egy protonból és egy neutronból deuteron (a deutérium atommagja) keletkezik, akkor a tömeghiány úgy jelenik meg, hogy a deuteron létrejöttekor keletkezik egy meglehetősen nagy, 2,2 MeV energiájú \(\displaystyle \gamma\)-foton. A deuteron stabil részecske, amit úgy bonthatunk összetevőire, ha legalább 2,2 MeV energiájú \(\displaystyle \gamma\)-fotonnal bombázzuk. Ezért szokás ezt az energiát a deuteron kötési energiájának nevezni.
Megjegyzések. 1. A táblázatokban nem az atommagok tömegét szokás megadni, hanem a semleges atomokét, vagyis az atommagok mellett az atomi elektronok tömege is benne van a nagy pontossággal megadott számértékekben.
2. Az atomi elektronoknak is van kötési energiája, azonban ezek több nagyságrenddel kisebbek a magok kötési energiájánál, tehát ezeket nem kell figyelembe vennünk.
3. A deuteronnak nincsenek gerjesztett állapotai, csak a 2,2 MeV-es alapállapota létezik.
4. A deuteron létrejöttekor keletkező foton energiája kicsit kisebb, mint 2,2 MeV, mert a szereplőknek (p, n, deuteron) a mozgási energiája is megváltozik, hiszen a foton impulzust is elvisz. Azonban ez a GeV-es nagyságrendű nyugalmi tömegek mellett elhanyagolható, de elvileg mégis van ilyen különbség. Hasonlóan egy álló deuteron alkotóelemeire bontásakor sem elegendő egy pontosan 2,2 MeV energiájú foton, mert az impulzusmegmaradás miatt nem keletkezhet álló proton és neutron, hanem ennél kissé nagyobb energiára van szükség.
Statistics:
14 students sent a solution. 3 points: Erdélyi Dominik, Ferencz Kevin, Gombos Barna, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Kossár Benedek Balázs, Lakatos Levente, Murányi Nimród Máté, Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, September 2025