Problem P. 5669. (September 2025)
P. 5669. One end of a thin thread of length \(\displaystyle L=20~\mathrm{cm}\) is attached to an axle of radius \(\displaystyle r=0.5~\mathrm{cm}\), and \(\displaystyle L/2\) length of the thread is wound on the axle. The axle is attached to a disc of radius \(\displaystyle R=5~\mathrm{cm}\), of mass \(\displaystyle m=0.5~\mathrm{kg}\) and of uniform mass distribution (see the figure). Keeping the other end of the vertical thread in a fixed position, the disc is released.
a) What is the tension in the thread during the motion of the uniformly accelerating disc (``yoyo'')?
b) What is the speed of the axle of the disc at the moment the thread gets unwound?
c) When the vertical movement of the disc is reversed, the tension in the thread increases for a short time (the disc ``jerks'' the thread). Estimate the average value of the tension in the thread during the jerk. The mass of the axle, the deviation of the thread from the vertical and air resistance can be neglected. Assume that the angular speed of the disc during the ``turn'' is constant.
(6 pont)
Deadline expired on October 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feladat a jojó nevű játékot modellezi. Várható például, hogy a kicsi \(\displaystyle \tfrac{r}{R}\) arány miatt a korong tömegközéppontja a kerületi sebességéhez képest lassan fog mozogni.
a) A fonalat feszítő erőt jelöljük \(\displaystyle F\)-fel, a korong tömegközéppontjának gyorsulását \(\displaystyle a\)-val. A korong tömegközéppontjára írjuk fel a mozgásegyenletet:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle ma=mg-F,\) |
A korong eközben a feltekert cérna miatti kényszerfeltétel következtéen \(\displaystyle \beta=\frac{a}{r}\) szöggyorsulással felpörög, amire a forgásegyenlet:
\(\displaystyle \Theta\beta=rF,\)
ahol a korong tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}mR^2\). Behelyettesítve \(\displaystyle \Theta\)-t és \(\displaystyle \beta\)-t:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mR^2\frac{a}{r}=rF.\)
Ebből fejezzük ki \(\displaystyle ma\)-t:
\(\displaystyle ma=2\left(\frac{r}{R}\right)^2F.\)
Ezt visszahelyettesítve az (1) egyenletbe megkapjuk a kötelet feszítő erőt:
\(\displaystyle F=\frac{mg}{1+2\left(\frac{r}{R}\right)^2}=4{,}8\,\mathrm{N}.\)
b) A tárcsa tömegközéppontjának \(\displaystyle v\) sebességét az energiamegnaradásból fogjuk meghatározni. A fonál teljes kitekeredésekor a korong helyzeti energiája \(\displaystyle \tfrac{1}{2}Lmg\)-vel csökken a induláshoz képest. Ez alakul a korong \(\displaystyle \tfrac{1}{2}mv^2\) tömegközépponti mozgási, és \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\Theta\omega^2=\tfrac{1}{2}\Theta\left(\tfrac{v}{r}\right)^2\) forgási energiájává:
\(\displaystyle \frac{1}{2}Lmg=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\Theta\left(\frac{v}{r}\right)^2.\)
Behelyettesítve \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}mR^2\)-t és egyszerűsítve \(\displaystyle \tfrac{1}{2}m\)-mel:
\(\displaystyle Lg=v^2\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{R}{r}\right)^2\right).\)
Ebből a sebesség:
\(\displaystyle v=\frac{r}{R}\sqrt{\frac{2Lg}{1+2\left(\frac{r}{R}\right)^2}}=0{,}196\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
c) Fordulásakor a korong lendülete \(\displaystyle \Delta p=2mv\) értékkel változik. Közben a korong jó közelítéssel \(\displaystyle \omega=\frac{v}{r}\) szögsebességgel forog, így a félfordulat megtétele \(\displaystyle \Delta t=\tfrac{\pi}{\omega}=\tfrac{\pi r}{v}\) ideig tart. Az átlagos fonálerő, a korong súlyával együtt:
\(\displaystyle F_f=mg+\frac{\Delta p}{\Delta t}=mg+\frac{2mv^2}{\pi r}.\)
Mivel a feladat csak becslést kér, \(\displaystyle v\) behelyettesítésénél a \(\displaystyle \left(\tfrac{r}{R}\right)^2=10^{-2}\) nagyságrendű korrekciót elhanyagoljuk:
\(\displaystyle F_f\approx mg\left(1+\frac{4Lr}{\pi R^2}\right)=7{,}4\,\mathrm{N}.\)
Statistics:
36 students sent a solution. 6 points: Beke Márton Csaba, Bélteki Teó, Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Kossár Benedek Balázs, Papp Emese Petra, Sümeghi Nándor , Szécsi Bence, Török Tibor, Vigh István Csaba. 5 points: Hornyák Zalán Zétény, Kirst Alexander, Kovács Tamás, Murányi Nimród Máté, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt. 4 points: 9 students. 3 points: 4 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, September 2025