Problem P. 5672. (October 2025)

P. 5672. Standing on the Equator, a satellite passes just above our heads, orbiting at a distance of \(\displaystyle 400~\mathrm{km}\) from the surface of the Earth. At most for how long can we see the satellite?

(4 pont)

Deadline expired on November 17, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Számoljuk ki először egy képzeletbeli, tengerszinten keringő műhold \(\displaystyle T_t\) keringési idejét! Ezen a pályán a centripetális gyorsulás éppen \(\displaystyle g\) nagyságú:

\(\displaystyle R\left(\frac{2\pi}{T_t}\right)^2=g,\)

ahol \(\displaystyle R=6378\,\mathrm{km}\) a Föld egyenlítői sugara. Innen

\(\displaystyle T_t=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{6378\,\mathrm{km}}{9{,}8\,\mathrm{m/s^2}}}=84{,}48\,\mathrm{perc}.\)

(Megelégszünk két tizedes pontossággal, és nem foglalkoztunk azzal, hogy \(\displaystyle g\) értékében megjelenik néhány ezreléknyi centrifugális erő) A \(\displaystyle h=400\,\mathrm{km}\) magasan keringő műhold keringési idejét Kepler III. törvényét alkalmazva számíthatjuk:

\(\displaystyle T_m=T_t\left(\frac{R+h}{R}\right)^{1{,}5}=84{,}48\,\mathrm{perc}\left(\frac{6378\,\mathrm{km}+400\,\mathrm{km}}{6378\,\mathrm{km}}\right)^{1{,}5}=92{,}55\,\mathrm{perc}.\)

Az Egyenlítőn állva együtt forgunk a Földdel \(\displaystyle n_f=1\,\mathrm{nap}^{-1}\) fordulatszámmal. A műhold haladási irányát a feladat nem adta meg, de leghosszabb ideig akkor látjuk, ha a velünk azonos irányban, nyugatról keletre kerüli meg a Földet. A műhold földi megfigyelőhöz viszonyított fordulatszáma ekkor:

\(\displaystyle n=T_m^{-1}-n_f.\)

A földi megfigyelőhöz viszonyított keringési ideje pedig

\(\displaystyle T=\frac{1}{n}=\frac{1\,\mathrm{nap}\cdot T_m}{1\,\mathrm{nap}-T_m}=\frac{1440\,\mathrm{perc}\cdot 92{,}55\,\mathrm{perc}}{1440\,\mathrm{perc}-92{,}55\,\mathrm{perc}}=98{,}91\,\mathrm{perc}.\)

Maradjunk innentől fogva a Földdel együtt forgó koordináta-rendszerben! A műhold felbukkan a nyugati horizonton, lemegy keleten. A két helyzetben a műholdat a röppálya középpontjával (Föld középpontjával) összekötő sugarak egymással bezárt szögét jelöljük \(\displaystyle 2\alpha\)-val. Az ábra szerint:

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{R}{R+h}=\frac{6378\,\mathrm{km}}{6778\,\mathrm{km}}=0{,}9410\quad\Rightarrow\quad\alpha=19{,}8^\circ.\)

Ezen a körív pályaszakaszon

\(\displaystyle \frac{2\alpha}{360^\circ}\cdot T=\frac{19{,}8^\circ}{180^\circ}\cdot 98{,}91\,\mathrm{perc}=10{,}9\,\mathrm{perc}\)

ideig halad a műhold, legfeljebb ennyi ideig látjuk tehát.

Statistics:

48 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Elekes Panni, Fuchs Vince, Kádár Luca Linda, Nagy Gellért Ákos, Sipeki Andor, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vigh István Csaba, Winhoffer Júlia.
3 points:	Bús László Teodor, Kovács Dániel, Lakatos Levente, Magyar Levente Árpád, Mezei Marcell, Molnár Lili, Patócs 420 Péter, Sipos Dániel Sándor.
2 points:	22 students.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2025