Problem P. 5673. (October 2025)
P. 5673. A piston with a mass of \(\displaystyle 0.5~\mathrm{kg}\) divides the air in a fixed horizontal cylindrical tank into two parts. The walls of the tank and the piston have good thermal insulation, and the piston can move frictionlessly (see the figure). Initially, the piston is fixed in such a position that the volume of air in the left part is \(\displaystyle 3~\mathrm{dm}^3\) and the pressure is \(\displaystyle 100~\mathrm{kPa}\), while in the other part the volume is \(\displaystyle 2~\mathrm{dm}^3\) and the pressure is \(\displaystyle 200~\mathrm{kPa}\). At this state the temperature of the air in both parts is \(\displaystyle 300~\mathrm{K}\).
The piston is released from its clamping.
a) After releasing the piston from the clamping, what is the maximum speed to which the piston accelerates?
b) What will be the maximum temperature of the air column on the left?
(5 pont)
Deadline expired on November 17, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A rögzítés feloldásakor a dugattyú rezgőmozgásba kezd. A jobb oldali rész nagyobb, de csökkenő nyomása balra gyorsítja a dugattyút, amelynek a sebessége akkor maximális amikor a nyomás a két oldalon éppen egyenlő, hisz ettől kezdve a mozgást fékező baloldali nyomás a nagyobb. A balra történő mozgás lefékeződése után a dugattyú visszafelé indul, ideális esetben eléri a kiinduló helyzetet, és a mozgás periodikusan ismétlődik, melynek során a gázok adiabatikus állapotváltozáson mennek keresztül. (Az elkerülhetetlen veszteségek, pl. a gáz belső súrlódása miatt a rezgés amplitúdója folyamatosan csökken, de ezt most nem kell figyelembe vennünk.)
a) Jelöljük a folyamat során a bal oldali rész adatait 1-es, a jobb oldaliét 2-es indexszel, a kiinduló helyzetre pedig használjuk az ábrán szereplő jelöléseket (\(\displaystyle p_\mathrm{A}\), \(\displaystyle V_\mathrm{A}\), \(\displaystyle p_\mathrm{B}\), \(\displaystyle V_\mathrm{B}\)). Az adiabatikus folyamatok során
\(\displaystyle p_1V_1^\kappa=p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}^{\kappa}\qquad\textrm{és}\qquad p_2V_2^\kappa=p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}^{\kappa},\)
ahol \(\displaystyle \kappa=c_p/c_v\) a fajhőhányados, esetünkben \(\displaystyle \kappa=7/5\). A folyamat során a \(\displaystyle V_1+V_2\) összeg állandó, ezért használjuk a \(\displaystyle V_1=V_\mathrm{A}-\Delta V\) és \(\displaystyle V_2=V_\mathrm{B}+\Delta V\) helyettesítő kifejezéseket. Amikor \(\displaystyle p_1=p_2\), akkor
\(\displaystyle \frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}^{\kappa}}{\left(V_\mathrm{A}-\Delta V\right)^{\kappa}}=\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}^{\kappa}}{\left(V_\mathrm{B}+\Delta V\right)^{\kappa}},\)
amiből
\(\displaystyle \Delta V=\frac{\left(p_\mathrm{B}^{1/\kappa}- p_\mathrm{A}^{1/\kappa}\right)V_\mathrm{B}V_\mathrm{A}}{\left(V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}+V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}\right)}.\)
Ennek megfelelően
\(\displaystyle V_1=V_\mathrm{A}-\Delta V=V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}\frac{V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}+V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}}\)
és
\(\displaystyle V_2=V_\mathrm{B}+\Delta V=V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}\frac{V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}+V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}}.\)
Ezt visszahelyettesítve az első egyenleteink egyikébe
\(\displaystyle p_1=p_2=p=\frac{\left(V_\mathrm{A}p_\mathrm{A}^{1/\kappa}+V_\mathrm{B}p_\mathrm{B}^{1/\kappa}\right)^{\kappa}}{\left( V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}\right)^{\kappa}}\)
adódik. Adatainkkal
\(\displaystyle V_1=2{,}388\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3},\qquad V_2=2{,}612\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3},\)
és
\(\displaystyle p=137{,}6\,\mathrm{kPa}.\)
A folyamat ezen szakaszában az egyes oldalak által végzett (előjeles) munka
\(\displaystyle W_1=\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}-pV_1}{\kappa-1}\qquad\textrm{és}\qquad W_2=\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}-pV_2}{\kappa-1}.\)
A kettő összege adja a dugattyú kinetikus energiáját:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=W_1+W_2,\)
ahol \(\displaystyle m\) a dugattyú tömege és \(\displaystyle v\) a sebessége. Ezt átrendezve, és kihasználva, hogy a két térfogat összege mindig akkora, mint \(\displaystyle V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B}\), a sebességre a
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\left(W_1+W_2\right)}{m}}=\sqrt{\frac{2\left((p_\mathrm{A}-p)V_\mathrm{A}+(p_\mathrm{B}-p)V_\mathrm{B}\right)}{m(\kappa-1)}}\)
kifejezést kapjuk, amiből a numerikus eredmény:
\(\displaystyle v=10{,}9\,\mathrm{m/s}.\)
b) A baloldali légoszlop hőmérséklete akkor a legnagyobb, amikor az a legjobban össze van nyomva. Ez az a szélső helyzet, amikor a dugattyú mozgása éppen irányt vált, azaz a sebessége nulla. Ilyenkor a két gázmennyiség által végzett teljes munka is zérus. Az erre az állapotra vonatkozó mennyiségeket vesszővel jelölve
\(\displaystyle W_1'+W_2'=\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}-p_1'V_1'}{\kappa-1}+\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}-p_2'V_2'}{\kappa-1}=0.\)
Továbbra is igaz, hogy
\(\displaystyle V_1'+V_2'=V_\mathrm{A}+V_\mathrm{B},\)
de az adiabatikus állapotegyenleteknek most célszerűbb a
\(\displaystyle \frac{T_1'}{T}\left(\frac{V_1'}{V_\mathrm{A}}\right)^{\kappa-1}=1\qquad\textrm{és}\qquad\frac{T_2'}{T}\left(\frac{V_2'}{V_\mathrm{B}}\right)^{\kappa-1}=1\)
alakját használnunk. (Itt \(\displaystyle T\) a kezdeti közös hőmérséklet.) Az egyesített gáztörvény szerint
\(\displaystyle \frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}{T}=\frac{p_1'V_1'}{T_1'},\qquad\textrm{és}\qquad\frac{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}{T}=\frac{p_2'V_2'}{T_2'}.\)
Ennek segítségével az ismeretlen \(\displaystyle p_1'\) és \(\displaystyle p_2'\) nyomást a \(\displaystyle T_1'\) és \(\displaystyle T_2'\) hőmérsékletre cserélhetjük, és az adiabatikus egyenleteket felhasználva a \(\displaystyle V_1'\) ill. \(\displaystyle V_2'\) változót is eltüntethetjük:
\(\displaystyle p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}\left(1-\frac{T_1'}{T}\right)+{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}\left(1-\frac{T_2'}{T}\right)=0,\)
\(\displaystyle V_\mathrm{A}\left(1-\left(\frac{T_1'}{T}\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)+V_\mathrm{B}\left(1-\left(\frac{T_2'}{T}\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)=0\)
E két egyenletből \(\displaystyle T_2'\) már kiküszöbölhető, és az így kapott
\(\displaystyle \frac{V_\mathrm{A}}{V_\mathrm{B}}\left(1-\left(\frac{T_1'}{T}\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)+\left(1-\left(\frac{p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}}{p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}}\left(1-\frac{T_1'}{T}\right)+1\right)^{-1/(\kappa-1)}\right)=0\)
egyenlet numerikusan megoldható. Két megoldás adódik, az egyik nyilván a kiinduló helyzetet adja vissza (\(\displaystyle T_1'=T=300\,\mathrm{K}\)), a másik a keresett hőmérséklet:
\(\displaystyle T_1'=1{,}230\,T=369\,\mathrm{K}.\)
Megjegyzés. A nemlineáris egyenletek megoldásakor gyakran hasznos a következő algoritmus. Az egyenletet az
\(\displaystyle x=f(x)\)
alakra hozzuk (ez általában többféleképpen is lehetséges), majd az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n)\)
szabály szerint egy sorozatot generálunk. Nem garantálható, de jó esetben (az \(\displaystyle f(x)\) függvény megfelelő tulajdonságai mellett) az \(\displaystyle x_1\) kezdőértékek egy tartományában a sorozat elemei egyre pontosabban megközelítenek egy (az \(\displaystyle x_1\) konkrét értékétől független) \(\displaystyle x=x_\infty\) értéket, ami az előállítás módja miatt nyilván megoldása a kiinduló egyenletünknek. Ennek az eljárásnak az az előnye, hogy akár egy zsebszámológéppel is könnyen végrehajtható. (A program nagyon hasonló a P. 5626. feladat numerikus megoldásakor használt, lapunk 2025. májusi számában bemutatotthoz.) Esetünkben a fenti egyenletekből az \(\displaystyle x=T_1'/T\) változóra a bemenő adatok behelyettesítése után egyik lehetőségként az
\(\displaystyle x=\frac{4}{3}\left(1{,}75-\left(2{,}5-1{,}5x^{-2{,}5}\right)^{-0{,}4}\right)\)
egyenlet írható fel. Ennek az egyenletnek a segítségével a fenti módon pl. az \(\displaystyle x_1=1{,}5\) vagy valamilyen hasonló nagyságrendű értékekkel generált sorozatok az \(\displaystyle x=1{,}2303458\) megoldást adják. Egy másik lehetőség, ha az egyenletünket az
\(\displaystyle x=\left(\frac{2}{3}\left(1-(1{,}75-0{,}75x)^{-2{,}5}\right)+1\right)^{-0{,}4}\)
alakra rendezzük. Az ezzel generált sorozatok egy jelentős halmaza az indítás értékétől függetlenül az \(\displaystyle x=1\) megoldáshoz vezet.
Statistics:
31 students sent a solution. 5 points: Bense Tamás, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vigh István Csaba. 4 points: Ferencz Kevin, Halmosi Dávid, Hornyák Zalán Zétény, Kovács Tamás, Rajtik Sándor Barnabás, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, October 2025