Problem P. 5674. (October 2025)
P. 5674. A heat engine operates between a body of heat capacity \(\displaystyle C\), which was initially at a temperature of \(\displaystyle T\), and a large heat reservoir of constant temperature \(\displaystyle T_0\).
Consider the two cases \(\displaystyle T=T_0 +\Delta T\) and \(\displaystyle T=T_0 -\Delta T\). In which case can we gain more work?
(5 pont)
Deadline expired on November 17, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mindkét esetben akkor maximális a munkavégzés, ha a hőerőgép minden pillanatban ideális Carnot-gépként működik. A nehézséget az okozza, hogy az egyik hőtartály hőmérséklete, és így a hatásfok is mindkét esetben folyamatosan változik, ezért csak kis elemi lépésekre írhatjuk fel az összefüggéseket, amelyeket azután összegeznünk kell.
1. ábra
Az első esetben (1. ábra) a felső (melegebb) hőtartály hőmérséklete \(\displaystyle T\), amely a folyamat során végig csökken, míg az alsó (hidegebb) hőtartály hőmérséklete állandó \(\displaystyle T_0\). Ekkor a Carnot-gép ismert képlete alapján az elemi munkavégzés:
\(\displaystyle \mathrm{d}W_1=\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}Q,\)
ahol \(\displaystyle \mathrm{d}Q\) a \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) hőmérsékletű (majd folyamatosan hülő) test által leadott elemi hőmennyiség, amit a test hőkapacitásával és hőmérséklet-változásával is kifejezhetünk:
\(\displaystyle \mathrm{d}Q=-C\mathrm{d}T.\)
Behelyettesítve az első összefüggésbe:
\(\displaystyle \mathrm{d}W_1=C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)(-\mathrm{d}T).\)
A teljes munkavégzést ennek összegzésével (integrálással) kaphatjuk meg (bár látni fogjuk, hogy az integrál elvégzésére az összehasonlításhoz nem lesz feltétlenül szükségünk):
\(\displaystyle W_1=\int\limits_{T_0+\Delta T}^{T_0}C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)(-\mathrm{d}T)=\int\limits_{T_0}^{T_0+\Delta T}C\left(1-\frac{T_0}{T}\right)\mathrm{d}T=CT_0\left(\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right).\)
2. ábra
A második esetben (2. ábra) a felső (melegebb) hőtartály hőmérséklete állandó \(\displaystyle T_0\), míg az alsó (hidegebb) hőtartály hőmérséklete \(\displaystyle T\), amely a folyamat során végig növekszik. A Carnot-gép elemi munkavégzése:
\(\displaystyle \mathrm{d}W_2=\left(1-\frac{T}{T_0}\right)\mathrm{d}Q',\)
ahol most \(\displaystyle \mathrm{d}Q'\) az állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű hőtartály által leadott hő. A \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\) hőmérsékletű (majd folyamatosan melegedő) test által felvett elemi hőmennyiség:
\(\displaystyle \mathrm{d}Q=\mathrm{d}Q'-\mathrm{d}W_2=\frac{T}{T_0}\mathrm{d}Q'.\)
Ebből \(\displaystyle \mathrm{d}Q'\)-t kifejezve, és az első kifejezésbe beírva:
\(\displaystyle \mathrm{d}W_2=\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}Q,\)
majd felhasználva, hogy most
\(\displaystyle \mathrm{d}Q=C\mathrm{d}T,\)
az elemi munkavégzés kifejezése:
\(\displaystyle \mathrm{d}W_2=C\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T.\)
A teljes munkavégzést ismét ennek összegzésével (integrálással) kaphatjuk meg (az integrál elvégzésére az összehasonlításhoz most sem lesz feltétlenül szükségünk):
\(\displaystyle W_2=\int\limits_{T_0-\Delta T}^{T_0}C\left(\frac{T_0}{T}-1\right)\mathrm{d}T=-CT_0\left(\frac{\Delta T}{T_0}+\ln\left(1-\frac{\Delta T}{T_0}\right)\right).\)
Ezután el kell döntenünk, hogy melyik munkavégzés nagyobb: erre két módszert mutatunk.
I. Az integrál elvégzése nélkül. Mindkét esetben egy \(\displaystyle \Delta T\) hosszúságú intervallumon végezzük az integrálást: az egyik esetben \(\displaystyle T_0\)-ról indulva \(\displaystyle T_0+\Delta T\)-ig, a másik esetben \(\displaystyle T_0-\Delta T\)-ről indulva \(\displaystyle T_0\)-ig (3. ábra). Hasonlítsuk össze a két integrandust! Az első esetben
\(\displaystyle T_0\leq T\leq T_0+\Delta T\quad\Rightarrow\quad T=T_0+\delta T,\)
míg a második esetben
\(\displaystyle T_0-\Delta T\leq T\leq T_0\quad\Rightarrow\quad T=T_0-\delta T,\)
ahol \(\displaystyle 0\leq\delta T\leq\Delta T\). Ez alapján viszont a két integrandus összehasonlítása (a \(\displaystyle C\) konstanst mindkét esetben elhagyva):
\(\displaystyle 1-\frac{T_0}{T}=1-\frac{T_0}{T_0+\delta T}=\frac{\delta T}{T_0+\delta T}\leq\frac{\delta T}{T_0-\delta T}=\frac{T_0}{T_0-\delta T}-1=\frac{T_0}{T}-1,\)
azaz a második esetben az integrandus mindig nagyobb (az intervallum szélén pedig egyenlő). Tehát a második esetben nyerhető több munka.
3. ábra
II. Az integrálok összehasonlítása sorfejtéssel. A két munkavégzést is összehasonlíthatjuk, ehhez a fenti integrálásokkal kapott kifejezésekben a logaritmus függvényt sorba kell fejtenünk. Táblázatokban megtalálható:
\(\displaystyle \ln x=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n.\)
A sorbafejtést mindkét esetben az első három tagig elvégezve:
$$\begin{gather*} \frac{W_1}{CT_0}=\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1+\frac{\Delta T}{T_0}\right)=\frac{\Delta T}{T_0}-\frac{\Delta T}{T_0}+\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^2-\frac{1}{3}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^3=\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^2-\frac{1}{3}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^3\\ \frac{W_2}{CT_0}=-\frac{\Delta T}{T_0}-\ln\left(1-\frac{\Delta T}{T_0}\right)=-\frac{\Delta T}{T_0}+\frac{\Delta T}{T_0}+\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^2+\frac{1}{3}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^3=\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^2+\frac{1}{3}\left(\frac{\Delta T}{T_0}\right)^3. \end{gather*}$$Tehát \(\displaystyle W_2>W_1\), azaz a második esetben nyerhető több munka.
Megjegyzés. Csak az első három tagot írtuk fel a sorfejtésben, mert \(\displaystyle \Delta T<T_0\) miatt a további tagok egyre kisebbek. De az is belátható, hogy a páros tagok mindvégig megegyeznek, a páratlanok pedig a harmadik taghoz hasonlóan az első esetben negatívak, a másodikban pozitívak, így a további tagok a két kifejezés közti különbséget tovább növelik.
Statistics:
17 students sent a solution. 5 points: Erdélyi Dominik, Gyenes Károly, Sümeghi Nándor , Szabó Tamás, Vigh István Csaba. 4 points: Horváth Zsombor, Rajtik Sándor Barnabás, Zádori Gellért. 3 points: 5 students. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, October 2025