Problem P. 5676. (October 2025)
P. 5676. In the circuit shown in the figure, the electromotive force of the voltage supply is \(\displaystyle 20~\mathrm{V}\), the resistances of the resistors are \(\displaystyle R_1=50~\Omega\) and \(\displaystyle R_2=150~\Omega\), and the capacitor has a capacity of \(\displaystyle 20~\mu\mathrm{F}\). Initially, switch K is closed.
a) What is the charge on the capacitor when the switch is closed?
b) Until the steady state is reached after the switch is opened, how much does the energy of the capacitor change and how much heat is dissipated in resistor \(\displaystyle R_1\)? The internal resistance of the voltage supply is negligible.
(5 pont)
Deadline expired on November 17, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) A kapcsoló zárt állása esetén az ellenállásokon az ellenállások arányában oszlik meg a feszültség, a kondenzátor feszültsége pedig a vele párhuzamosan kötött \(\displaystyle R_2\) ellenállás feszültségével lesz egyenlő. Így a kondenzátor feszültsége
\(\displaystyle U_\mathrm{C}=U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_0=15\,\mathrm{V},\)
a kondenzátor keresett töltése pedig:
\(\displaystyle Q=CU_\mathrm{C}=300\,\mu\mathrm{C}.\)
b) A kapcsoló kinyitása után egy tranziens folyamat kezdődik, majd a tranziens lezajlása után már nem fog sehol áram folyni az áramkörben. Ekkor a teljes telepfeszültség a kondenzátorra esik, azaz
\(\displaystyle U_\mathrm{C}'=U_0=20\,\mathrm{V},\)
és így a kondenzátor új töltése:
\(\displaystyle Q'=CU_\mathrm{C}'=400\,\mu\mathrm{C}.\)
A kondenzátor energiájának megváltozása:
\(\displaystyle \Delta E=E'-E=\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}'^2-\frac{1}{2}CU_\mathrm{C}^2=1{,}75\,\mathrm{mJ}.\)
Eközben a telepen is áthalad \(\displaystyle \Delta Q=Q'-Q=100\,\mu\mathrm{C}\) töltés, így a telep munkavégzése:
\(\displaystyle W=\Delta QU_0=2\,\mathrm{mJ}.\)
Az \(\displaystyle R_1\) ellenálláson felszabaduló Joule-hő a telep munkavégzésének és a kondenzátor energianövekményének a különbsége:
\(\displaystyle W_1=W-\Delta E=0{,}25\,\mathrm{mJ}.\)
Megjegyzés. A feladat megoldásához nem szükséges, de leírhatjuk a tranziens folyamatot is. A huroktörvény alapján:
\(\displaystyle U_0=R_1I(t)+U_\mathrm{C}(t),\)
ahol
\(\displaystyle I=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}.\)
Ezt behelyettesítve:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}(U_\mathrm{C}(t)-U_0)}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{R_1C}(U_\mathrm{C}(t)-U_0),\)
amely egy ugyanolyan differenciálegyenlet az \(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0\) mennyiségre, mint a jól ismert bomlási törvény. Ez alapján a megoldása:
\(\displaystyle U_\mathrm{C}(t)-U_0=(U_\mathrm{C}(0)-U_0)\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},\)
ahol \(\displaystyle \tau=R_1C\) az időállandó. Az áram időfüggése ez alapján:
\(\displaystyle I(t)=C\frac{\mathrm{d}U_\mathrm{C}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{U_0-U_\mathrm{C}(0)}{R_1}\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}},\)
a teljes felszabaduló Joule-hőt pedig ennek integrálásával kaphatjuk meg:
\(\displaystyle W_1=\int\limits_0^\infty R_1I(t)^2\,\mathrm{d}t=\frac{(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2}{R_1}\int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{2t}{\tau}}\,\mathrm{d}t=\frac{C}{2}(U_0-U_\mathrm{C}(0))^2=0{,}25\,\mathrm{mJ},\)
az előző megoldással összhangban.
Statistics:
38 students sent a solution. 5 points: Békési Máté, Bús László Teodor, Erdélyi Dominik, Ferencz Kevin, Gyenes Károly, Kovács Tamás, Murányi Nimród Máté, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vértesi Janka, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért. 4 points: Beke Márton Csaba, Borsics Bendegúz, Csáki Anikó, Elekes Panni, Hornyák Zalán Zétény, Kirschner Bálint, Sipeki Andor, Sümeghi Nándor , Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, October 2025