Problem P. 5677. (October 2025)

P. 5677. To the terminals of a battery of \(\displaystyle 1.5~\mathrm{V}\), a resistor of \(\displaystyle 1~\mathrm{k}\Omega\) is connected with two copper wires of length \(\displaystyle 20~\mathrm{cm}\), and of radius \(\displaystyle 1~\mathrm{mm}\). The copper has one conduction electron per atom.

a) Calculate the drift speed of the conduction electrons in the wire.

b) How long would it take for an electron to travel at this speed from the battery to the resistor?

(5 pont)

Deadline expired on November 17, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A 40 cm hosszú vörösréz vezeték ellenállása

\(\displaystyle R=\rho\frac{\ell}{A}=1{,}68\cdot 10^{-8}\,\Omega\mathrm{m}\cdot\frac{0{,}4\,\mathrm{m}}{\pi\cdot(0{,}001\,\mathrm{m})^2}\approx 2\,\mathrm{m}\Omega,\)

mely elhanyagolható az ellenállás \(\displaystyle 1\,\mathrm{k}\Omega\)-os értéke mellett. Így az áramkörben Ohm törvénye alapján

\(\displaystyle I=\frac{1{,}5\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{k}\Omega}=1{,}5\,\mathrm{mA}\)

áram folyik.

a) Ebben a modellben a vezetési elektronok egyenletes \(\displaystyle v\) áramlási sebességgel mozognak. A vezeték egy adott keresztmetszetén \(\displaystyle t\) idő alatt \(\displaystyle nAtv\) számú elektron halad át, ahol \(\displaystyle n\) az vezetési elektronok számsűrűsége (egységnyi térfogatban lévő elektronok száma). Így az áramsűrűség definíciója alapján:

\(\displaystyle I=\frac{enAtv}{t}\quad\rightarrow\quad v=\frac{I}{enA},\)

ahol \(\displaystyle e\) az elemi töltés értéke.

Következő lépésként számoljuk ki a vezetési elektronok számsűrűségét. Tekintsük a vörösréz egy \(\displaystyle V\) térfogatú részét, melynek tömege \(\displaystyle \varrho_m V\) (\(\displaystyle \varrho_m\) a réz sűrűsége). A réz moláris tömege alapján, ebben \(\displaystyle \rho_m V/M_\mathrm{Cu}\) anyagmennyiségű rézatom, és ugyanennyi vezetési elektron található. A vezetési elektronok darabszáma az Avogadro-állandó segítségével kapható meg: \(\displaystyle N_A\varrho_mV/M_\mathrm{Cu}\). Innen a vezetési elektronok számsűrűsége:

\(\displaystyle n=\frac{N_A\varrho_m}{M_\mathrm{Cu}}.\)

Az elektronok átlagos áramlási sebessége:

\(\displaystyle v=\frac{IM_\mathrm{Cu}}{F\varrho_mA}=\frac{1{,}5\,\mathrm{mA}\cdot 63{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg/mol}}{96500\,\mathrm{C/mol}\cdot 8960\,\mathrm{kg/m^3}\cdot\pi\cdot(0{,}001\,\mathrm{m})^2}=3{,}5\cdot10^{-8}\;\textrm{m/s}.\)

A megoldásban az elektrokémiából ismert Faraday-állandó \(\displaystyle F=e\cdot N_A\) értéke jelent meg.

b) Ekkora sebességgel az elektronok a \(\displaystyle 0{,}2\,\mathrm{m}\) hosszú utat a telep és az ellenállás között 66 nap alatt tennék meg.

Megjegyzés. Ebben a feladatban az elektronok mozgását egy klasszikus fizikai modellel, az ún. Drude-modellel írtuk le. Az elektronok kvantummechanikai tulajdonságait figyelembe vevő modellek árnyaltabb képet adnak a vezetési jelenségekről. Ezekben a modellekben a vezetési elektronoknak csak töredéke vesz részt a töltéstranszportban, viszont a sebességük jóval nagyobb, közelítőleg \(\displaystyle 10^6\,\mathrm{m/s}\) értékűek. A többi vezetési elektron nem okoz effektív áramsűrűséget, mert ugyanolyan mértékben mozognak a térrel megegyező, mint azzal ellentétes irányba. Természetesen az összes vezetési elektron sebességének az átlaga a modelltől függetlenül megegyezik a fent kapottal.

Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:	Beke Márton Csaba, Békési Máté, Bélteki Teó, Bense Tamás, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Ferencz Kevin, Horváth Péter, Horváth Zsombor, Kádár Luca Linda, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Kovács Tamás, Misik Balázs, Molnár Lili, Monori Bence, Murányi Nimród Máté, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Sipeki Andor, Szécsi Bence, Tajta Sára, Tasnádi Zsófia, Toók Panna, Török Tibor, Vigh István Csaba, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért.
4 points:	Borsics Bendegúz, Kovács Dániel, Ruzsics Gréta, Szabó Tamás.
3 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2025