Problem P. 5681. (November 2025)
P. 5681. Two pieces of thread, each of length \(\displaystyle L=10~\mathrm{cm}\), have one end fixed to a vertical axis at a common point, and two small beads of equal mass \(\displaystyle m\) and of charge \(\displaystyle Q\) are attached to the other ends. In equilibrium, each thread makes an angle of \(\displaystyle \varphi=30^\circ\) with the vertical axis. When the axis is rotated uniformly, the beads in the steady state undergo uniform circular motion such that the threads make an angle of \(\displaystyle \alpha=45^\circ\) with the axis of rotation. What is the period of the circular motion of the beads?
(4 pont)
Deadline expired on December 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Statikus egyensúly esetén a fonalakat valamekkora \(\displaystyle F_0\) erő feszíti, és a gyöngyökre a fonálerőkön kívül a függőleges irányú nehézségi erő és a vízszintes irányú Coulomb-erő hat. Az egyensúly feltétele az erőegyensúly:
\(\displaystyle \frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\varphi}=F_0\sin\varphi,\)
valamint
\(\displaystyle mg=F_0\cos\varphi.\)
A fenti két egyenlet hányadosából
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{kQ^2}{4L^2mg}=\frac{\sin^3\varphi}{\cos\varphi}.\) |
Jelöljük a forgó gyöngyök szögsebességét \(\displaystyle \omega\)-val, a keringési idejük ekkor \(\displaystyle T=2\pi/\omega.\) Ha a fonalakat feszítő erő most \(\displaystyle F_1\), a mozgásegyenletek:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle F_1\sin\alpha-\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\alpha}=m(L\sin\alpha)\omega^2,\) |
valamint
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle mg=F_1\cos\alpha.\) |
Innen \(\displaystyle F_1\)-et kifejezve és azt (2)-be helyettesítve, valamint (1)-et is felhasználva kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{L\omega^2}{g}=\frac{1}{\cos\alpha}-\left(\frac{\sin\varphi}{\sin\alpha}\right)^3\,\frac{1}{\cos\varphi}.\) |
A megadott szögek esetén (4) jobb oldala \(\displaystyle 1{,}006\approx 1\), így a gyöngyök keringési ideje
\(\displaystyle T\approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}=0{,}63\,\mathrm{s},\)
ami majdnem az \(\displaystyle L\) fonálhosszúságú matematikai inga lengésidejével egyezik meg.
Statistics:
47 students sent a solution. 4 points: Bense Tamás, Bogdán Balázs Ákos, Bús László Teodor, Csáki Anikó, Elekes Panni, Ferencz Kevin, Fuchs Vince, Gilyán Zsombor, Hornyák Zalán Zétény, Horváth Péter, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Misik Balázs, Monori Bence, Murányi Nimród Máté, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Szabó Tamás, Tajta Sára, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vértesi Janka, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért, Zhao Aaron (26 students). 3 points: Blaskovics Ádám, Borsics Bendegúz, Hornok Máté, Kovács Tamás, Lakatos Levente, Mészáros Máté , Mezei Marcell, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Rajtik Sándor Barnabás, Sofró Dániel, Vincze Anna (12 students). 2 points: 3 students. 0 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, November 2025