Problem P. 5682. (November 2025)

P. 5682. A cylinder of radius $\displaystyle R$ and of height $\displaystyle H$ contains a liquid. The cylinder is made to rotate about its axis. The angular speed of rotation is slowly increased until the edge of the liquid is drawn up to the rim of the cylinder. The liquid then just ``disappears'' from the centre of the bottom of the cup.

a) What is the greatest angular speed of the cylinder?

b) What is the initial height of the liquid in the cylinder?

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A folyadék felszíne mindenhol merőleges a nehézségi erő és a forgó rendszerben érzékelt centrifugális erő eredőjére. Az 1. ábráról leolvasható, hogy az érintő meredeksége:

$\displaystyle (1)$

$\displaystyle \tg\alpha=\frac{\omega^2r}{g}.$

1. ábra

Emiatt a felület forgási paraboloid alakú lesz, melynek egyenlete:

$\displaystyle (2)$

$\displaystyle h=\frac{\omega^2}{2g}r^2,$

ahol $\displaystyle r$ a forgástengelytől mért távolság, $\displaystyle h$ a forgási paraboloid csúcsától mért magasság, $\displaystyle \omega$ a forgás szögsebessége és $\displaystyle g$ a nehézségi gyorsulás.

Megjegyzés. A forgó folyadék felszínének egyenlete ,,közismert'', megtalálható a Függvénytáblázatban is, de ezen kívül többféleképpen is levezethető. Itt egy geometriai és egy differenciálszámításos módszert mutatunk meg.

1. A parabolatükör a tengelyével párhuzamos fénysugarakat a fókuszpontba gyűjti (2. ábra). A parabola geometriai definíciója szerint a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza ($\displaystyle PF=PP'$). Az $\displaystyle F$ fókuszpont és a $\displaystyle v$ vezéregyenes távolsága a parabola $\displaystyle p$ paramétere, amellyel a parabola egyenlete:

$\displaystyle h=\frac{1}{2p}r^2.$

2. ábra

Az 2. ábráról leolvashatóan a görbe érintője az $\displaystyle FPP'$ egyenlőszárú háromszög szimmetriatengelye, így az $\displaystyle FP'$ szakasz merőleges rá. Ezért a merőlegesállású szögek miatt:

$\displaystyle \tg\alpha=\frac{r}{p}.$

Ezek alapján (1) felhasználásával:

$$\begin{gather*} p=\frac{r}{\tg\alpha}=\frac{g}{\omega^2},\\ h=\frac{1}{2p}r^2=\frac{\omega^2}{2g}r^2, \end{gather*}$$

a (2) kifejezéssel összhangban.

2. A $\displaystyle h(r)$ függvény meredeksége (1) alapján:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}=\tg\alpha=\frac{\omega^2r}{g}.$

Ebből

$\displaystyle \mathrm{d}h=\frac{\omega^2}{g}r\,\mathrm{d}r,$

és ezt integrálva

$\displaystyle h=\frac{\omega^2}{2g}r^2+h_0.$

$\displaystyle h_0=0$ választással megkapjuk a (2) összefüggést.

A feladatban keresett határesetben a forgási paraboloid érinti az edény fenekét és felső határolóköre megegyezik az edény peremével, így $\displaystyle h(R)=H$:

$\displaystyle \frac{\omega^2}{2g}R^2=H,$

amiből

$\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2gH}}{R}.$

b) Az eredeti magasság meghatározásához ki kell számítanunk a folyadék térfogatát. Ehelyett az egyszerűség kedvéért a folyadék nélküli forgási paraboloid térfogatát számítjuk ki (a 3. ábrán piros). A kis szelet térfogata:

$\displaystyle \mathrm{d}V=r^2\pi\,\mathrm{d}h.$

A parabola egyenlete a peremfeltételek alapján:

$\displaystyle h=\frac{H}{R^2}r^2,$

amellyel a kis elemi térfogat így is írható:

$\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{R^2\pi}{H}h\,\mathrm{d}h.$

3. ábra

A teljes térfogat egyszerű integrálással:

$\displaystyle V=\int\limits_0^H\frac{R^2\pi}{H}h\,\mathrm{d}h=\frac{R^2\pi}{H}\frac{H^2}{2}=\frac{HR^2\pi}{2}.$

Ez éppen a henger $\displaystyle HR^2\pi$ térfogatának a fele, így a folyadék térfogata is ugyanekkora. Eszerint kezdetben a folyadékszint $\displaystyle H/2$ magasságban volt.

Megjegyzés. A folyadék térfogata a forgástestek térfogatszámítási módszerével is meghatározható. Ekkor a forgástestet $\displaystyle r$ sugarú, $\displaystyle \mathrm{d}r$ vastagságú, $\displaystyle h(r)$ magasságú hengergyűrűkre bontjuk (4. ábra), melyek térfogata:

$\displaystyle \mathrm{d}V=2r\pi h(r)\,\mathrm{d}r.$

Behelyettesítve $\displaystyle h(r)$ aktuális kifejezését, és az integrálást elvégezve:

$\displaystyle V=\int\limits_0^R\frac{2H\pi}{R^2}r^3\,\mathrm{d}r=\frac{2H\pi}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{HR^2\pi}{2},$

az előző eredményünkkel összhangban.

4. ábra

Statistics:

38 students sent a solution.

5 points: Beke Márton Csaba, Bogdán Balázs Ákos, Csáki Anikó, Elekes Panni, Gyenes Károly, Halmosi Dávid, Kovács Tamás, Nyitrai Csenger, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vigh István Csaba, Winhoffer Júlia, Zhao Aaron (17 students).

4 points: Bense Tamás, Hajdu Eszter, Kovács Tamás , Mezei Marcell, Monori Bence, Patócs 420 Péter, Szabó Tamás, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt (9 students).

3 points: 3 students.

2 points: 3 students.

1 point: 3 students.

irregular: 1 script.

Problems in Physics of KöMaL, November 2025

38 students sent a solution.
5 points:	Beke Márton Csaba, Bogdán Balázs Ákos, Csáki Anikó, Elekes Panni, Gyenes Károly, Halmosi Dávid, Kovács Tamás, Nyitrai Csenger, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vigh István Csaba, Winhoffer Júlia, Zhao Aaron	(17 students).
4 points:	Bense Tamás, Hajdu Eszter, Kovács Tamás , Mezei Marcell, Monori Bence, Patócs 420 Péter, Szabó Tamás, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt	(9 students).
3 points:	3 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
irregular:	1 script.

Already signed up?
New to KöMaL?