Problem P. 5684. (November 2025)
P. 5684. The frame shown in the figure is made from a piece of wire, which has uniform thickness. Calculate the ratio of the equivalent resistances between points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\) and between points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle C\).
(5 pont)
Deadline expired on December 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először is rajzoljuk át a kapcsolási rajzot úgy, hogy a sorosan és párhuzamosan kapcsolt részek áttekinthetőbbek legyenek. Az 1. ábrán a nagy négyzeten további pontokat jelöltünk meg, hogy segítsük a kétféle elrendezés részleteinek azonosítását. A 2. ábrán \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\), a 3. ábrán \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) a kapcsolás kimeneti pontjai. Ellenállásegységnek a kicsi négyzet egyik oldalának \(\displaystyle R\) ellenállását választottuk; a jelöletlen ellenállások 1 egységnyiek.
1. ábra
2. ábra
3. ábra
Kezdjük az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közti \(\displaystyle R_{AC}\) eredő ellenállással (2. ábra). A kapcsolás alsó és felső ága egyforma, a két függőleges helyzetben (halványabban) rajzolt ellenállás végpontjai azonos potenciálon vannak, nem folyik rajtuk áram, ezért olyan, mintha ott sem lennének. Nélkülük a kapcsolás csak soros és párhuzamos részekből áll, az eredő ellenállás pedig:
\(\displaystyle R_{AC}=\frac{1}{2}\left(R+R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R+R\right)=2{,}5R.\)
A 3. ábrán látható kapcsolás kicsit bonyolultabb: az alsó és felső ág különbözik, és a függőleges ágakban is folyik áram. Hogy az ezzel járó bonyodalmakat elkerüljük, alakítsuk a szélen levő háromszögeket csillaggá (\(\displaystyle \Delta\)-t Y-ná) úgy, ahogy a 4. ábrán látható.
4. ábra
A csillagban levő ellenállások értékeit a Függvénytáblázatban található képletek segítségével kaptuk:
\(\displaystyle \frac{R\cdot R}{R+R+2R}=\frac{1}{4}R,\qquad\frac{R\cdot 2R}{R+R+2R}=\frac{1}{2}R.\)
A \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle G\) pontok közti rész eredő ellenállása:
\(\displaystyle R_{DG}=R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R=5R.\)
Az utolsó két eredményt berajzolva a 3. ábrába az 5. ábrához jutunk, melynek eredő ellenállását már könnyebben felírhatjuk:
\(\displaystyle R_{AB}=\frac{1}{4}R+\frac{\left(\frac{1}{2}R+5R+\frac{1}{2}R\right)\left(\frac{1}{2}R+R+\frac{1}{2}R\right)}{\left(\frac{1}{2}R+5R+\frac{1}{2}R\right)+\left(\frac{1}{2}R+R+\frac{1}{2}R\right)}+\frac{1}{4}R=\frac{1}{2}R+\frac{6R\cdot 2R}{8R}=2R\)
5. ábra
A két eredő ellenállás aránya végül:
\(\displaystyle \frac{R_{AB}}{R_{AC}}=\frac{2R}{2{,}5R}=\frac{4}{5}=0{,}8.\)
Statistics:
31 students sent a solution. 5 points: Bense Tamás, Bogdán Balázs Ákos, Ferencz Kevin, Kovács Tamás, Molnár Lili, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Sipeki Andor, Török Tibor, Zádori Gellért (10 students). 4 points: Kovács Dániel, Patócs 420 Péter, Zólomy Csanád Zsolt (3 students). 3 points: 6 students. 2 points: 5 students. 1 point: 3 students. 0 points: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2025