Problem P. 5685. (November 2025)

P. 5685. It is a well-known phenomenon that a breakpoint appears in the image of a thin, straight stick when it is partly immersed into a bowl of water (see Figure 1).

Figure 1

In Figure 2 there is a photograph of a stick that makes an angle \(\displaystyle \varphi\) with the vertical. When the stick is photographed (or viewed) from a suitable direction, the submerged part of the stick is not visible at all, although the stick still reaches the bottom of the bowl. At what angle \(\displaystyle \varphi\) can this phenomenon occur?

Figure 2

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük a pálca vízbe merülő részének különböző pontjaiból kiinduló, a pálcával majdnem párhuzamosan haladó fénysugarakat. Ezek \(\displaystyle \varphi\) beesési szögben érik el (alulról) a víz felszínét, és a levegőben (ha egyáltalán kilépnek a vízből) valamekkora \(\displaystyle \alpha\) törési szögben haladnak tovább. Ha a fényképezőgép (vagy a szemünk) éppen ennek az \(\displaystyle \alpha\) szögnek megfelelő irányban, a pálcára illeszkedő függőleges síkban viszonylag messze helyezkedik el, akkor a pálca víz alatti részének képe közelítőleg egyetlen ponttá válik. Ilyenkor a pálca víz alatti szakaszát (véges hosszúságú egyenesként) nem figyelhetjük meg.

A törési törvény szerint

\(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}=n\approx\frac{4}{3},\)

tehát

\(\displaystyle \sin\alpha\approx\frac{4}{3}\,\sin\varphi\le 1.\)

Ennek megfelelően

\(\displaystyle \sin\varphi\le\frac{3}{4},\qquad\textrm{azaz}\qquad\varphi\le 48{,}6^\circ.\)

Statistics:

8 students sent a solution.
4 points:	Ambriskó Boldizsár, Bense Tamás, Murányi Nimród Máté, Tasnádi Zsófia, Zádori Gellért, Zhao Aaron	(6 students).
3 points:	Borsics Bendegúz	(1 student).

Problems in Physics of KöMaL, November 2025