Problem P. 5686. (November 2025)

P. 5686. Astronauts set off to explore the distant universe. Their spacecraft is launched from the Earth and travels at a speed of \(\displaystyle 3/5\,c\). The controllers on Earth send a part of the cargo \(\displaystyle T\) time after the launch of the spacecraft in another rocket travelling at a speed of \(\displaystyle 4/5\,c\).

a) What is the speed of the rocket in the coordinate system of the astronauts?

b) How much time elapses between the launch and the arrival of the rocket, carrying the cargo, in the reference frame of the ground controllers and in the reference frame of the astronauts? The time required to accelerate the rocket and the spacecraft is negligible with respect to \(\displaystyle T\).

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mind a Föld \(\displaystyle \cal{K}\), mind az űrhajó \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) koordináta-rendszerében úgy jelöljük ki az \(\displaystyle x\) tengelyt, hogy annak az irány egybe essen az űrhajó sebességének az irányával!

a) A relativisztikus sebesség-transzformáció szabálya szerint a Földtől \(\displaystyle v=(3/5)c\) sebességgel távolodó űrhajó rendszerében a Földről \(\displaystyle v_x=(4/5)c\) sebességgel indított rakéta sebessége

\(\displaystyle v_x^\prime=\frac{v_x-v}{1-\frac{v_xv}{c^2}}=\frac{5}{13}c.\)

b) Jelölje \(\displaystyle t\) a teherűrhajó utazásának időtartamát. A találkozásig mind a személy-, mind a teherűrhajó azonos \(\displaystyle s\) utat tesz meg, amely

\(\displaystyle s=(T+t)v=tv_x.\)

Ebből

\(\displaystyle t=\frac{v}{v_x-v}T=3T.\)

A személyűrhajó rendszerében a Föld \(\displaystyle -v\) sebességgel távolodik visszafele. A Föld saját-idejében \(\displaystyle T\) időtartam az űrhajó rendszerében

\(\displaystyle T^\prime=\frac{T}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}=\frac{5}{4}T\)

hosszú. Ez alatt a Föld és az űrhajó közötti távolság

\(\displaystyle s^\prime=vT^\prime=\frac{3}{4}cT\)

értékre nő. Ezt a teher-rakéta

\(\displaystyle t^\prime=\frac{s^\prime}{v_x^\prime}=\frac{39}{20}T\)

idő alatt teszi meg.

Megjegyzés. Eredményünk ellenőrzésére lehetőséget ad a következő gondolatmenet: A személyszállító űrhajó indulása és a teherhajó érkezése (a \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) rendszerben a Föld ,,indulása'' és a teherhajó érkezése) a \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) rendszerben ugyanott történik, tehát a két esemény közötti \(\displaystyle T^\prime+t^\prime\) sajátidőre érvényes, hogy

\(\displaystyle \frac{\left(T^\prime+t^\prime\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}=\left(T+t\right).\)

Adatainkat behelyettesítve láthatjuk, hogy ez valóban teljesül. Fontos megjegyezni, hogy ez az összefüggés nem áll fenn külön-külön a \(\displaystyle T^\prime\) és \(\displaystyle T\), illetve a \(\displaystyle t^\prime\) és \(\displaystyle t\) viszonyában, mert a két időtartamot elválasztó esemény, a teherrakéta indítása máshol történik a \(\displaystyle \cal{K}^\prime\) rendszerben, mint az összeg két végpontját adó események.

Statistics:

30 students sent a solution.
5 points:	Ambriskó Boldizsár, Borsics Bendegúz, Elekes Panni, Horváth Péter, Monori Bence, Murányi Nimród Máté, Simon János Dániel, Sümeghi Nándor , Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vigh István Csaba, Zádori Gellért, Zhao Aaron	(13 students).
4 points:	Beke Márton Csaba, Gilyán Zsombor, Winhoffer Júlia	(3 students).
3 points:	11 students.
2 points:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, November 2025