Problem P. 5687. (November 2025)
P. 5687. Four balls of radius \(\displaystyle r\) and mass \(\displaystyle m\) are held by thin threads of length \(\displaystyle r\). One end of each thread is fixed at a common point so that the centers of the balls form a square. The two balls at the end of one diagonal of the square are red, the other two are blue. (Most of the mass of each ball is at the centre of the ball, so the moment of inertia of the balls is negligibly small. The frictional force between the balls is also negligible.)
In this arrangement the balls are in an unstable equilibrium, from which the system will move away at the slightest external disturbance and will move towards a state of lower potential energy with increasing acceleration.
a) What is the angle between the threads and the vertical in the initial and in lowest potential energy states?
b) What is the maximum value of the total kinetic energy of the four balls?
(6 pont)
Deadline expired on December 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A golyók nullának vehető tehetetlenségi nyomatéka miatt az egyes fonalak meghosszabbítása a golyó középpontján kell, hogy áthaladjon. (Ha nem így lenne, akkor a fonalat feszítő erőnek lenne forgatónyomatéka a golyó középpontja körül, és ez nagyon (,,végtelen'') nagy szöggyorsulást eredményezne.)
Mind a négy golyó középpontja a mozgás során mindvégig \(\displaystyle 2r\) távolságban lesz a közös felfüggesztési ponttól. Válasszunk egy olyan koordináta-rendszert, amelynek egy-egy vízszintes tengelye az instabil kezdeti állapot négyzetének átlóival párhuzamos, a harmadik tengely pedig a felfüggesztési ponton áthaladó függőleges egyenes. Jelöljük az \(\displaystyle x-z\) síkban kitérített piros golyók fonalainak a függőlegessel bezárt szögét \(\displaystyle \alpha\)-val, a másik két fonál szögét pedig \(\displaystyle \beta\)-val (lásd az ábrát). Az első felülnézeti ábrarészlet a négyzet alaknak megfelelő kezdeti állapotot mutatja. A második felülnézeti és a két oldalnézeti ábrarészlet olyan helyzetet mutat, amikor a két piros golyó egymáshoz közelebb került (és emiatt függőlegesen kicsit lesüllyedtek), a kék golyók pedig eltávolodtak egymástól (miközben a középpontjuk kicsit megemelkedett). Ilyen elmozdulás során a piros golyók helyzeti energiája csökken, a kékeké pedig növekszik. Kérdés, hogy az egész rendszer helyzeti energiája kisebb-e, mint amennyi a kezdeti állapotban volt. Ha kisebb, akkor a kezdőállapot valóban instabil egyensúlyi állapot.
Ha a koordináta-rendszer kezdőpontját a közös felfüggesztési pontba helyezzük, akkor a golyók középpontját megadó vektorok
\(\displaystyle \boldsymbol{r}_{1,3}=\left(\begin{matrix}\pm 2r\sin\alpha&\\0&\\-2r\cos\alpha&\end{matrix}\right)\qquad\textrm{és}\qquad\boldsymbol{r}_{2,4}=\left(\begin{matrix}0&\\ \pm 2r\sin\beta&\\-2r\cos\beta&\end{matrix}\right).\)
Az egymással érintkező (különböző színű) golyók középpontjának távolsága \(\displaystyle 2r\), így pl.
\(\displaystyle \left(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\right)^2=(2r\sin\alpha)^2+(2r\sin\beta)^2+4r^2(\cos\alpha-\cos\beta)^2=4r^2,\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}.\) |
a) A kezdőállapotban (a négyzetes elrendeződésben)
\(\displaystyle \cos\alpha=\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad\textrm{vagyis}\qquad\alpha=\beta=45^\circ.\)
Az \(\displaystyle \alpha\) szög legkisebb értékénél a piros golyók érintkeznek egymással, ilyenkor
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \sin\alpha_\mathrm{min}=\frac{1}{2},\qquad\cos\alpha_\mathrm{min}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad\alpha_\mathrm{min}=30^\circ.\) |
A kék golyókat tartó fonalaknak a függőlegessel bezárt legnagyobb szögére (1) és (2) szerint fennáll:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \cos\beta_\mathrm{max}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad\textrm{azaz}\qquad\beta_\mathrm{max}\approx 54{,}7^\circ.\) |
b) Az egész rendszer helyzeti energiája
\(\displaystyle E_\mathrm{helyzeti}=-4mgr(\cos\alpha+\cos\beta)=-4mgr\left(\cos\alpha+\frac{1}{2\cos\alpha}\right)=\)
\(\displaystyle =-4mgr\left(\sqrt{\cos\alpha}-\frac{1}{\sqrt{2\cos\alpha}}\right)^2-4\sqrt{2}\,mgr\leq -4\sqrt{2}mgr.\)
Látjuk, hogy a helyzeti energia az \(\displaystyle \alpha=\beta=45^\circ\)-os helyzetben, vagyis a kezdeti (négyzetes szimmetriát mutató) állapotban a legnagyobb, ez tehát egy instabil egyensúlyi helyzet.
A helyzeti energia függvénye a legkisebb értéket a piros (vagy a kék) golyók összeütközésekor, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\), \(\displaystyle \beta=54{,}7^\circ\)-nál (vagy a fordított helyzetben, a kék golyók összeütközésekor) veszi fel, és a nagysága
\(\displaystyle E_\textrm{h,min}=-\frac{10}{\sqrt{3}}mgr.\)
A rendszer helyzeti energiájának csökkenése a teljes folyamat során
\(\displaystyle \vert\varDelta E\vert=\left(\frac{10}{\sqrt{3}}-4\sqrt{2}\right)mgr\approx 0{,}12\,mgr,\)
legfeljebb ennyi lehet tehát a négy golyó összes mozgási energiája.
Statistics:
18 students sent a solution. 6 points: Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tajta Sára (5 students). 5 points: Nyitrai Csenger, Zádori Gellért (2 students). 4 points: 3 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2025