Problem P. 5688. (December 2025)

P. 5688. From a given point, a heavy body is thrown at an angle \(\displaystyle \alpha\) with an initial velocity \(\displaystyle v_0\). Give the equation of the trajectory in the oblique coordinate system, where one axis points in the direction of the initial velocity and the other in the direction of the gravitational force. Can the constant in the equation be related to the ``parameter'' \(\displaystyle p\) of the parabolic trajectory?

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy pontszerűnek tekinthető test mozgását az időtől függő \(\displaystyle \boldsymbol{r}(t)\) vektorral, vagyis egy skalár változós vektorfüggvénnyel írhatjuk le. Ha a mozgás síkbeli (ez a helyzet a hajításoknál), a helyvektor kifejezhető két tetszőleges (de egymással nem párhuzamos), időben állandó \(\displaystyle \boldsymbol{f}_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol{f}_2\) ,,bázisvektor'' és az időtől függő két ,,koordináta'' segítségével:

\(\displaystyle \boldsymbol{r}(t)=X(t)\boldsymbol{f}_1+Y(t)\boldsymbol{f}_2.\)

Ha a bázisvektorok merőlegesek egymásra és egységnyi hosszúságúak, akkor a szokásos derékszögű (Descartes-féle) koordináta-rendszert kapjuk:

\(\displaystyle \boldsymbol{r}(t)=x(t)\boldsymbol{e}_1+y(t)\boldsymbol{e}_2.\)

(Az általános esettől való megkülönböztetés kiemelésére a bázisvektorokat \(\displaystyle \boldsymbol{e}_{1,2}\)-vel, a koordinátákat pedig kis betűkkel jelöltük.)

Válasszuk \(\displaystyle \boldsymbol{f}_1\)-nek az eldobás irányába mutató egységvektort, \(\displaystyle \boldsymbol{f}_2\)-nek pedig a nehézségi gyorsulás irányába (függőlegesen lefelé) mutató egységvektort. Ebben a ferdeszögű koordináta-rendszerben a mozgó test koordinátái az idő függvényében

\(\displaystyle X(t)=v_0t\qquad\textrm{és}\qquad Y(t)=\frac{g}{2}t^2.\)

Innen – az idő kiküszöbölése után – megkapjuk a pályagörbe egyenletét:

\(\displaystyle Y(X)=\frac{g}{2v_0^2}\,X^2.\)

Descartes-féle koordináta-rendszerben a parabola egyenletében a négyzetes tag együtthatója \(\displaystyle \frac{1}{2p}\), ahol \(\displaystyle p\) a fókuszpont és a vezéregyenes távolsága, vagyis a parabola paramétere. Jelen esetben mégsem mondhatjuk, hogy \(\displaystyle \frac{v_0^2}{g}\) megegyezne \(\displaystyle p\)-vel, hiszen a választott bázisvektorok (a vízszintes hajítás \(\displaystyle \alpha=0\), illetve \(\displaystyle \alpha=180^\circ\) eseteit leszámítva) nem merőlegesek egymásra. (Jól látható ez a függőleges hajítás \(\displaystyle \alpha\to 0\) határesetében, amikor a függőleges félegyeneshez közelítő ,,elfajult parabola'' paramétere nem \(\displaystyle v_0^2/g\)-hez, hanem nullához tart.)

Fejezzük ki most az \(\displaystyle \boldsymbol{r}\) vektort egy vízszintes \(\displaystyle \boldsymbol{e}_1\) és egy függőlegesen felfelé mutató \(\displaystyle \boldsymbol{e}_2\) egységvektor segítségével.

Az ábráról leolvasható, hogy

\(\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_1+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_2,\qquad\textrm{illetve}\qquad\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_2,\)

és így

\(\displaystyle \boldsymbol{r}(t)=X(t)\,(\cos\alpha\,\boldsymbol{e}_1+\sin\alpha\,\boldsymbol{e}_2)-Y(t)\,\boldsymbol{e}_2=\left(v_0t\cos\alpha\right)\,\boldsymbol{e}_1+\left(v_0t\sin\alpha-\frac{g}{2}t^2\right)\boldsymbol{e}_2.\)

Ezek szerint a helyvektor derékszögű koordinátái:

\(\displaystyle x(t)=v_0t\cos\alpha,\qquad\textrm{valamint}\qquad y(t)=v_0t\sin\alpha-\frac{g}{2}t^2,\)

vagyis a pályagörbe egyenlete

\(\displaystyle y(x)=x\,\tg\alpha-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2.\)

Innen – teljes négyzetté alakítás után – kapjuk, hogy a lefelé nyíló parabola paramétere

\(\displaystyle p=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}.\)

Statistics:

17 students sent a solution.
4 points:	Bogdán Balázs Ákos, Halmosi Dávid, Mezei Marcell, Patócs 420 Péter, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia	(6 students).
3 points:	Kádár Luca Linda, Kovács Tamás , Magyar Levente Árpád, Nagy Gellért Ákos, Nyitrai Csenger, Papp Emese Petra, Vincze Anna, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért, Zhao Aaron	(10 students).

Problems in Physics of KöMaL, December 2025