Problem P. 5689. (December 2025)

P. 5689. Consider the Earth's orbit around the Sun as a circle with a radius of 150 million kilometres. Suppose that a comet in the plane of the ecliptic approaches the Sun along a parabolic path such that it intersects the Earth's orbit twice, and the length of the straight line connecting the two points of intersection is exactly the diameter of the Earth's orbit. (Fortunately, the Earth misses the comet by a wide margin when it moves close to the Earth's orbit.)

a) How close does the comet get to the centre of the Sun, and what is its speed at that position?

b) What is the angle between the Earth's orbit and the comet's orbit?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A földpálya középpontja egybeesik az üstökös parabolapályájának fókuszával. A parabola minden pontja ugyanakkora távolságra van az \(\displaystyle F\) fókusztól, mint a \(\displaystyle v\) vezéregyenestől. A két metszéspont éppen \(\displaystyle R\) földsugárnyira van a fókusztól, tehát ugyancsak \(\displaystyle R\) távolságra van a vezéregyenes is ezektől a pontoktól. Ebből következik, hogy a parabola vezéregyenese érinti a földpálya körét, és ezért a parabola \(\displaystyle C\) csúcspontja a földsugár felénél van, vagyis az üstökös \(\displaystyle r=R/2=75\) millió kilométerre közelíti meg a Napot. A parabolapálya miatt az üstökös teljes energiája nulla. Ebből ki tudjuk számítani az üstökös sebességét napközelben:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2-\gamma\frac{mM}{r}=0,\quad\textrm{amiből}\quad v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r}}=59{,}6\,\mathrm{km/s}.\)

b) Többféleképpen is megadhatjuk a választ. A legegyszerűbb talán az, ha optikai analógiát használunk. A parabola (térben forgási paraboloid) tengelyével párhuzamosan érkező fénysugarak úgy verődnek vissza a parabolatükörről, hogy azok a fókuszpontban koncentrálódnak. A két pálya metszéspontjaiba érkező, a parabola tengelyével párhuzamos sugarak eltérülése \(\displaystyle 90^\circ\)-os, tehát a két pálya \(\displaystyle 45^\circ\)-ban metszi egymást.

Statistics:

37 students sent a solution.
5 points:	Bertollo Antonio, Elekes Panni, Halmosi Dávid, Horváth Péter, Horváth Zsombor, Kádár Luca Linda, Kávrán-Kőnig Balázs, Kossár Benedek Balázs, Kovács Dániel, Kovács Tamás, Lakatos Levente, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Sümeghi Nándor , Szécsi Bence, Tajta Sára, Tóth Hanga Katalin, Török Tibor, Vértesi Janka, Vigh István Csaba, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt	(25 students).
4 points:	Bense Tamás, Gilyán Zsombor, Gombos Barna, Mezei Marcell	(4 students).
3 points:	2 students.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, December 2025