Problem P. 5692. (December 2025)
P. 5692. A given quantity of monatomic ideal gas is quasi-statically taken from its initial state of pressure \(\displaystyle p_0\) and volume \(\displaystyle V_0\) to its final state of pressure \(\displaystyle p_0\) and volume \(\displaystyle 2V_0\). The process is chosen so that the temperature of the gas never decreases and the gas never releases heat.
a) What is the minimum amount of heat that can be transferred to the gas?
b) What is the maximum amount of heat that can be transferred to the gas?
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. A \(\displaystyle pV\) állapotsíkon azok a folyamatok, amelyek során a hőmérséklet nem változik, a \(\displaystyle pV=\textrm{állandó}\) izotermákkal, azok a folyamatok pedig, ahol nincs hőfelvétel vagy leadás, a \(\displaystyle pV^\kappa=\textrm{állandó}\) adiabatákkal ábrázolhatók. Esetünkben a \(\displaystyle \kappa=c_p/c_V\) fajhőhányados – egyatomos gázról lévén szó – 5/3. Azoknak a folyamatoknak a \(\displaystyle p(V)\) függvénye, amelyeknél nincs hőleadás, és a hőmérséklet nem csökkenhet, az adiabatákat és az izotermákat csak a megfelelő oldalról metszhetik. Ez minden pontban kijelöli a megengedett irányokat. Ábrázoljuk a \(\displaystyle p_0\) és \(\displaystyle V_0\) értékekkel jellemzett A kezdő-, és a \(\displaystyle p_0\), \(\displaystyle 2V_0\) értékekkel megadott B végponton átmenő adiabatákat és izotermákat. Jelöljük az A-n átmenő \(\displaystyle pV=p_0V_0\) izoterma és a B-vel meghatározott \(\displaystyle pV^{\kappa}=p_0(2V_0)^{\kappa}\) adiabata metszéspontját K\(\displaystyle _1\)-gyel, a B-n átmenő \(\displaystyle pV=p_0(2V_0)\) izoterma és az A-t tartalmazó \(\displaystyle pV^{\kappa}=p_0V_0^{\kappa}\) adiabata metszéspontját pedig K\(\displaystyle _2\)-vel. Könnyen belátható, hogy azokon az utakon, amik az A-K\(\displaystyle _2\) és K\(\displaystyle _1\)-B adiabaták valamint a K\(\displaystyle _2\)-B és A-K\(\displaystyle _1\) izotermák jelentette keretből kilépnek, a feltételeink valahol sérülnek, tehát a szóba jöhető folyamatok ezen görbék által meghatározott terület belsejében, vagy a határain kell, hogy végbemenjenek. (Az állítás megfordítva nem igaz, nem minden folyamat, amely az AK\(\displaystyle _2\)BK\(\displaystyle _1\) idom belsejében ábrázolható, felel meg a hőmérséklet-csökkenés és hőleadás tilalmának.) A helyzetet vázlatosan mutató 1. ábrán megrajzoltuk a határokon futó A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _1\!\to\)B, valamint A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _2\!\to\)B folyamatokat, és bejelöltünk egy lehetséges közvetlen A\(\displaystyle \to\)B utat is.
1. ábra
Az alábbiakban megmutatjuk, hogy az egyes folyamatokhoz tartozó \(\displaystyle Q_\mathrm{AK_1B}\), \(\displaystyle Q_\mathrm{AK_2B}\) és \(\displaystyle Q_\mathrm{AB}\) hőfelvételekre igaz a
\(\displaystyle Q_\mathrm{AK_2B}>Q_\mathrm{AB}>Q_\mathrm{AK_1B}\)
reláció. Tekintsük az A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _2\!\to\)B\(\displaystyle \to\)A körfolyamatot, ahol rendszer az A-ból B-be a határon futó A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _2\!\to\)B úton jut el, vissza pedig a bejelölt közvetlen A-B görbe mentén a jelölttel ellentétes irányba haladva. A körfolyamat során a hőfelvétel \(\displaystyle Q_\mathrm{AK_2B}\), a hőleadás pedig \(\displaystyle Q_\mathrm{AB}\), a kettő \(\displaystyle W=Q_\mathrm{AK_2B}-Q_\mathrm{AB}\) különbsége pedig a végzett munka. Ez az adott körbejárási irány mellett pozitív, tehát valóban
\(\displaystyle Q_\mathrm{AK_2B}>Q_\mathrm{AB}.\)
Teljesen analóg módon az A\(\displaystyle \to\)B\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _1\!\to\)A körfolyamatot tekintve megkapjuk a
\(\displaystyle Q_\mathrm{AB}>Q_\mathrm{AK_1B}\)
relációt is. Mivel az A\(\displaystyle \to\)B egy tetszőleges, a kijelölt tartomány belsejében végbevitt, a feltételeket kielégítő folyamat, a lehetséges legnagyobb és legkisebb hőfelvétel a határokon futó A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _2\!\to\)B, illetve A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _1\!\to\)B úton van:
\(\displaystyle Q_\mathrm{max}=Q_\mathrm{AK_2B},\qquad Q_\mathrm{min}=Q_\mathrm{AK_1B}.\)
Az A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _2\!\to\)B folyamat során hőfelvétel csak az izotermikus K\(\displaystyle _2\!\to\)B szakaszon van. Mivel itt a rendszer belső energiája nem változik, a felvett hő azonos a rendszer tágulási munkájával, azaz
\(\displaystyle Q_\mathrm{max}=\sum\Delta Q=\sum_\mathrm{K_2\to B}p\Delta V.\)
Az adott izoterma egyenlete szerint
\(\displaystyle p=\frac{p_02V_0}{V},\)
így
\(\displaystyle Q_\mathrm{max}=2p_0V_0\sum_\mathrm{K_2\to B}\frac{\Delta V}{V}.\)
A \(\displaystyle \Delta V\) lépéseket egyre kisebbre választva az összefüggésünk jobb oldalán az összeg a megfelelő integrál értékéhez közelít,
\(\displaystyle \sum_\mathrm{K_2\to B}\frac{\Delta V}{V}\to\int\limits_{V_\mathrm{K_2}}^{V_\mathrm{B}}\frac{\mathrm{d}V}{V},\)
ami a Függvénytáblázatok szerint
\(\displaystyle \int\limits_{V_\mathrm{K_2}}^{V_\mathrm{B}}\frac{\mathrm{d}V}{V}=\ln\frac{V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{K_2}}.\)
Definíciónk szerint K\(\displaystyle _2\) a \(\displaystyle pV=p_0(2V_0)\) izoterma és a \(\displaystyle pV^\kappa=p_0V_0^\kappa\) adiabata metszéspontja, ahol is
\(\displaystyle V_\mathrm{K_2}^{\kappa-1}=\frac{V_{0}^{\kappa-1}}{2},\qquad\textrm{azaz}\qquad V_\mathrm{K_2}=\frac{V_0}{2^{1/(\kappa-1)}}.\)
Mivel \(\displaystyle V_\mathrm{B}=2V_0\),
\(\displaystyle \frac{V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{K_2}}=2^{\kappa/(\kappa-1)},\)
tehát
\(\displaystyle Q_\mathrm{max}=2p_0V_0\ln{2^{\kappa/(\kappa-1)}}=p_0V_0\frac{2\kappa\ln 2}{\kappa-1}=5p_0V_0\ln 2.\)
Teljesen hasonló módon ki tudjuk számolni az A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _1\) úton felvett \(\displaystyle Q_\mathrm{min}\) értékét, de van ennél egy rövidebb út is. Vegyük észre, hogy az A\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _2\!\to\)B\(\displaystyle \to\)K\(\displaystyle _1\!\to\)A folyamat egy Carnot-körfolyamat, aminek a felső hőtartálya az állapotegyenlet szerint kétszer akkora hőmérsékletű, mint az alsó (\(\displaystyle T_\mathrm{B}=2p_0V_0/nR\), illetve \(\displaystyle T_\mathrm{A}=p_0V_0/nR\)), tehát a hatásfoka \(\displaystyle \eta=1/2\). Ennek megfelelően
\(\displaystyle \eta =\frac{Q_\mathrm{max}-Q_\mathrm{min}}{Q_\mathrm{max}}=\frac{1}{2},\)
amiből
\(\displaystyle Q_\mathrm{min}=\frac{Q_\mathrm{max}}{2}=\frac{5}{2}p_0V_0\ln 2.\)
Megjegyzés. Carnot tétele szerint bármely két hőmérséklet között végbevihető körfolyamatok közül a Carnot-körfolyamatnak a legjobb a hatásfoka. Ebből kiindulva is könnyen igazolható a \(\displaystyle Q_\mathrm{max}=Q_\mathrm{AK_2B}\) és \(\displaystyle Q_\mathrm{min}=Q_\mathrm{AK_1B}\) állításokat megalapozó \(\displaystyle Q_\mathrm{AK_2B}>Q_\mathrm{AB}>Q_\mathrm{AK_1B}\) reláció. Innen tekintve a dolgot a fenti gondolatmenetünk a Carnot-tétel igazolásának tekinthető a lehetséges folyamatok egy osztályára (nevezetesen azokra, ahol a hőfelvétel és hőmérséklet-emelkedés, illetve a hőleadás és a hőmérséklet-csökkenés egy-egy szakaszban történik).
II. megoldás. Legyen a gáz hőmérséklete kezdetben \(\displaystyle T_\mathrm{A}=T_0\), ekkor az ideális gáz \(\displaystyle pV=nRT\) állapotegyenlete alapján a végállapotban \(\displaystyle T_\mathrm{B}=2T_0\). Ábrázoljuk a kezdeti és a végállapotot, valamint a lehetséges folyamatokat az \(\displaystyle T\)-\(\displaystyle S\) állapotsíkon (2. ábra). Az entrópia kezdeti értékét nem tudjuk meghatározni (nincs is rá szükségünk), csak a megváltozását:
\(\displaystyle \Delta S=\frac{3}{2}nR\ln\frac{T_\mathrm{B}}{T_\mathrm{A}}+nR\ln\frac{V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}}=\frac{5\ln 2}{2}nR=\frac{5\ln 2}{2}\frac{p_0V_0}{T_0},\)
ahol felhasználtuk, hogy \(\displaystyle \tfrac{T_\mathrm{B}}{T_\mathrm{A}}=\tfrac{V_\mathrm{B}}{V_\mathrm{A}}=2\), az egyatomos gáznál \(\displaystyle f=3\), valamint az állapotegyenlet alapján az \(\displaystyle nR=\tfrac{p_0V_0}{T_0}\) összefüggést.
2. ábra
Ha a gáz hőmérséklete sohasem csökkenhet, illetve a gáz sohasem adhat le hőt, akkor se \(\displaystyle T\), se \(\displaystyle S\) nem csökkenhet, az A állapotból a B állapotba az \(\displaystyle S\)-\(\displaystyle T\) állapotsíkon csak egy egyértékű, monoton növekvő görbe mentén juthat el a gáz. A gáz által felvett hőt az \(\displaystyle S\)-\(\displaystyle T\) állapotsíkon a görbe alatti terület adja meg (hiszen \(\displaystyle \mathrm{d}Q=T\mathrm{d}S\)), így a minimális hőközléshez az A-K\(\displaystyle _1\)-B egyenes szakaszokból álló útvonal, a maximális hőközléshez az A-K\(\displaystyle _2\)-B útvonal tartozik. (\(\displaystyle T\) és \(\displaystyle S\) értéke nem csökkenhet, de lehet állandó.) Ez alapján a keresett minimális és maximális hőközlés:
a)
\(\displaystyle Q_\mathrm{min}=T_0\Delta S=\frac{5\ln 2}{2}p_0V_0=1{,}73\,p_0V_0,\)
b)
\(\displaystyle Q_\mathrm{max}=2T_0\Delta S=5\ln 2\,p_0V_0=3{,}46\,p_0V_0=2Q_\mathrm{min}.\)
Statistics:
30 students sent a solution. 5 points: Békési Máté, Fuchs Vince, Kossár Benedek Balázs, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Zólomy Csanád Zsolt (6 students). 3 points: 1 student. 2 points: 3 students. 1 point: 15 students. 0 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2025