Problem P. 5694. (December 2025)

P. 5694. We use a conventional diffraction grating to produce the diffraction pattern of the light from a sodium vapour lamp. Estimate how many thin slits the grating consists of if we can just resolve the two spectral lines of the sodium lamp with wavelengths of \(\displaystyle 589.6~\mathrm{nm}\) and \(\displaystyle 590.0~\mathrm{nm}\) in the first order.

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy \(\displaystyle N\) résből álló, \(\displaystyle d\) rácsállandójú optikai rácsot \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú fénnyel világítunk meg, akkor az elsőrendű maximum \(\displaystyle \lambda/d\) szögnél jelenik meg. Ezen főmaximum félértékszélessége pedig \(\displaystyle \lambda/(Nd)\) (szög egységben). Látható, hogy a rések számának növelésével az intenzitáscsúcsok pozíciója nem változik, viszont azok egyre keskenyebbek lesznek.

Ha \(\displaystyle N\) pici, akkor a két különböző (\(\displaystyle \lambda_1\) és \(\displaystyle \lambda_2\)) hullámhosszhoz tartozó intenzitásmaximum nem különíthető el, mert a csúcsok átfednek és összeolvadva látjuk őket. Az ún. Rayleigh-kritérium szerint, akkor tekinthetőek különállónak a csúcsok, ha a csúcsok távolsága nagyobb, mint azok félértékszélessége:

\(\displaystyle \frac{\lambda_2}{d}-\frac{\lambda_1}{d}>\frac{\lambda_2}{Nd}.\)

Az egyenlőtlenség megoldása: \(\displaystyle N>1475\). Nagyjából 1500 résből áll az a rács, mellyel éppen fel lehet bontani a nátriumlámpa két közeli spektrumvonalát.

Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:	Bertollo Antonio, Ferencz Kevin, Horváth Péter, Horváth Zsombor, Kovács Dániel, Kovács Tamás, Rajtik Sándor Barnabás, Tajta Sára, Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vértesi Janka, Vigh István Csaba, Winhoffer Júlia	(13 students).

Problems in Physics of KöMaL, December 2025