Problem P. 5696. (December 2025)
P. 5696. A constant current flows through a long, straight conductor positioned vertically in vacuum. From point \(\displaystyle P\), located at a distance \(\displaystyle r_0\) from the conductor, we launch a proton onto the straight conductor in a direction perpendicular to the plane containing point \(\displaystyle P\), as shown in the figure. During its motion, the maximum distance of the proton from the conductor is \(\displaystyle 4r_0\).
a) During the motion, what is the maximum angle \(\displaystyle \vartheta\) between the direction of motion of the proton and the horizontal?
b) What is the angle \(\displaystyle \vartheta\) at the moment when the proton is at a distance \(\displaystyle 2r_0\) from the straight conductor?
(6 pont)
Deadline expired on January 15, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A proton mozgását egy olyan hengerkoordináta-rendszerben írjuk le, amelynek a \(\displaystyle z\) tengelye egybeesik a függőleges vezető tengelyével. Jelölje \(\displaystyle r\) a proton távolságát a tengelytől, és legyen \(\displaystyle z\) a függőleges elmozdulás! A proton sebességének a komponensei ebben a rendszerben \(\displaystyle (v_r,\,v_\varphi,\,v_z)\). A vezetőben folyó áram hatására létrejövő mágneses indukció \(\displaystyle \varphi\) irányú, azaz minden pontban az adott pont és a \(\displaystyle z\) tengely által meghatározott \(\displaystyle (r,z)\) síkra merőleges, és az \(\displaystyle r\) távolság reciprokával arányos, tehát
\(\displaystyle B=\frac{r_0}{r}B_0\)
alakú. (Itt \(\displaystyle B_0\) kifejezhető az áram segítségével, de nem érdemes ezze bajlódni, hisz azt sem ismerjük.) A Lorentz-erő merőleges a pillanatnyi sebességre, ezért nem változtatja meg annak a nagyságát, tehát
\(\displaystyle \sqrt{v_r^2+v_\varphi^2+v_z^2}=v_0.\)
Másrészről a Lorentz-erő merőleges a mágneses indukcióra is, ezért a proton és a \(\displaystyle z\) tengely közös síkjában hat, így nincs forgatónyomatéka a tengelyre vonatkozóan. Ebből következik, hogy a protonnak a \(\displaystyle z\) tengelyre vonatkozó impulzusmomentuma állandó, tehát a kezdeti feltételeket is figyelembe véve
\(\displaystyle rv_\varphi=r_0v_0,\qquad\textrm{azaz}\qquad v_\varphi=v_0\frac{r_0}{r}.\)
a) A sebesség vízszintessel bezárt \(\displaystyle \vartheta\) szöge a sebesség függőleges komponensével van összefüggésben:
\(\displaystyle \sin\vartheta=\frac{v_z}{v_0}.\)
\(\displaystyle v_z\)-t a többi sebességkomponenssel kifejezve, és \(\displaystyle v_\varphi\)-t behelyettesítve
\(\displaystyle v_z=v_0\sqrt{1-\left(\frac{v_r}{v_0}\right)^2-\left(\frac{r_0}{r}\right)^2}.\)
Amikor \(\displaystyle r\) maximális, akkor \(\displaystyle v_r\) éppen eltűnik, tehát a sebesség függőleges komponensének a maximális értéke
\(\displaystyle v_{z,\mathrm{max}}=v_0\sqrt{1-\left(\frac{r_0}{r_\mathrm{max}}\right)^2}.\)
Ebből a legnagyobb \(\displaystyle \vartheta\)
\(\displaystyle \vartheta_\mathrm{max}=\arcsin{\sqrt{1-\left(\frac{r_0}{r_\mathrm{max}}\right)^2}}=\arcsin{\sqrt{\frac{15}{16}}}=75{,}5^\circ.\)
b) A \(\displaystyle \vartheta\) közbülső értékeinek a meghatározásához a \(\displaystyle v_z\) egyenletéből kell kiindulnunk. A Lorentz-erő, ami az \(\displaystyle (r,z)\) síkban hat, nagysága arányos az \(\displaystyle e\) töltéssel, a \(\displaystyle B\)-vel és a sebesség \(\displaystyle (r,z)\) síkra vett \(\displaystyle (v_r,0,v_z)\) vetületével, de merőleges arra, komponensekkel az
\(\displaystyle (F_r,F_\varphi,F_z)=\left(-ev_z\frac{r_0}{r}B_0,0,ev_r\frac{r_0}{r}B_0\right)\)
alakban adható meg. Ennek alapján a proton függőleges gyorsulása
\(\displaystyle a_z=\frac{er_0B_0}{m}\frac{v_r}{r}.\)
Az egyenlet bal oldalán az \(\displaystyle a_z\) definíció szerint a \(\displaystyle v_z\) változási sebessége (idő szerinti deriváltja), a jobb oldalon pedig \(\displaystyle v_r/r\) az \(\displaystyle \ln r\)-nek, azaz a tengelytől való távolság logaritmusának a deriváltja. Mindkét oldalt integrálva tehát a
\(\displaystyle v_z=\frac{er_0B_0}{m}\,\ln\frac{r}{r_0}\)
összefüggést kapjuk. Itt \(\displaystyle v_z\) és \(\displaystyle r\) a két mennyiségnek ugyanabban az időpillanatban felvett értékei (de az időfüggést nem jelöltük, mert nem ismerjük, és nincs is rá szükségünk), és kihasználtuk, hogy kezdetben, amikor \(\displaystyle r=r_0\), akkor \(\displaystyle v_z=0\). Ennek alapján
\(\displaystyle v_{z,\mathrm{max}}=\frac{er_0B_0}{m}\,\ln\frac{r_\mathrm{max}}{r_0}.\)
Az ismeretlen \(\displaystyle B_0\)-t kiküszöbölve és \(\displaystyle v_{z,\mathrm{max}}\) értékét behelyettesítve a
\(\displaystyle v_z=\frac{v_0\sqrt{1-\left(\frac{r_0}{r_\mathrm{max}}\right)^2}\,\ln\frac{r}{r_0}}{\ln\frac{r_\mathrm{max}}{r_0}}\)
kifejezést kapjuk, aminek a segítségével
\(\displaystyle \sin\vartheta(r)=\frac{\sin\vartheta_\mathrm{max}\,\ln\frac{r}{r_0}}{\ln\frac{r_\mathrm{max}}{r_0}}.\)
Eszerint akkor, amikor \(\displaystyle r=2r_0\),
\(\displaystyle \sin\vartheta(2r_0)=\frac{\sin\vartheta_\mathrm{max}}{2},\qquad\textrm{azaz}\qquad\vartheta(2r_0)=29{,}0^\circ.\)
Statistics:
12 students sent a solution. 6 points: Beke Márton Csaba, Simon János Dániel, Tasnádi Zsófia, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt (6 students). 4 points: 2 students. 2 points: 2 students. 0 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2025