Problem P. 5708. (February 2026)

P. 5708. The coefficient of friction between the horizontal table shown in the figure and the body of mass $\displaystyle m$ on it is $\displaystyle \mu=0.5$. The pulleys, which can be considered uniform density discs, can rotate without friction, and the ropes do not slip on the rims of the pulleys. What is the magnitude and direction of the force exerted on the ceiling by the fixed pulley attached to it?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A mozgásegyenletek az 1. ábra jelöléseit használva írjuk fel.

1. ábra

Az $\displaystyle m$ tömegű mozgócsiga és a $\displaystyle 2m$ tömegű test közös gyorsulása:

$\displaystyle (1)$

$\displaystyle 3ma_1=3mg-K_1-K_2.$

A mozgó- és az állócsiga szöggyorsulása:

$$\begin{gather*} \Theta\beta_1=(K_1-K_2)r,\tag{2}\\ \Theta\beta_2=(K_2-K_3)r,\tag{3} \end{gather*}$$

ahol $\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}mr^2$. Az asztalon mozgó test vízszintes gyorsulása és függőleges erőegyensúlya:

$$\begin{gather*} ma_2=K_3-S,\tag{4}\\ N=mg.\tag{5} \end{gather*}$$

A mozgási súrlódási erő:

$\displaystyle (6)$

$\displaystyle S=\mu N,$

ahol $\displaystyle \mu=0{,}5$. Kényszerfeltételek: a mozgócsiga fele akkora gyorsulással mozog, mint a róla letekeredő fonál:

$\displaystyle (7)$

$\displaystyle a_2=2a_1,$

és a fonalak nem csúsznak meg a csigákon:

$$\begin{gather*} a_1=r\beta_1,\tag{8}\\ a_2=r\beta_2.\tag{9} \end{gather*}$$

A (7)-(9) kényszerfeltételeket, $\displaystyle \Theta$ kifejezését, valamint az (5)-(6) egyenletek és $\displaystyle \mu$ értéke alapján $\displaystyle S$ kifejezését felhasználva az (1)-(4) egyenletek így írhatók át:

$$\begin{gather*} 3ma_1=3mg-K_1-K_2,\\ \frac{1}{2}ma_1=K_1-K_2,\\ ma_1=K_2-K_3,\\ 2ma_1=K_3-\frac{1}{2}mg. \end{gather*}$$

A lineáris egyenletrendszert megoldva a számunkra szükséges kötélerők:

$$\begin{gather*} K_2=\frac{43}{38}mg,\\ K_3=\frac{35}{38}mg.\\ \end{gather*}$$

Az állócsigára ható erők egyensúlya alapján az $\displaystyle F$ erő vízszintes és függőleges komponensének nagysága:

$$\begin{gather*} F_x=K_3=\frac{35}{38}mg,\\ F_y=mg+K_2=\frac{81}{38}mg, \end{gather*}$$

amiből a keresett kényszererő nagysága:

$\displaystyle F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\frac{\sqrt{35^2+81^2}}{38}\,mg\approx 2{,}32\cdot mg,$

a függőlegessel bezárt szöge pedig:

$\displaystyle \varphi=\arctg\frac{F_x}{F_y}=\arctg\frac{35}{81}\approx 23{,}4^\circ.$

II. megoldás. A testek gyorsulását a munkatétellel is meghatározhatjuk. Az elengedés után $\displaystyle t$ idővel a testek 2. ábrán jelölt elmozdulása, sebessége és szögsebessége:

$$\begin{gather*} s_1=\frac{1}{2}a_1t^2,\qquad s_2=\frac{1}{2}a_2t^2,\\ v_1=a_1t,\qquad v_2=a_2t,\\ \omega_1=\beta_1t,\qquad \omega_2=\beta_2t. \end{gather*}$$

Az I. megoldásban felírt kényszerfeltételek alapján:

$$\begin{gather*} 2a_1=a_2,\\ r\omega_1=v_1,\qquad r\omega_2=v_2. \end{gather*}$$

2. ábra

A munkatétel alapján, $\displaystyle S$ és $\displaystyle \Theta$ kifejezését, valamint $\displaystyle \mu$ értékét is felhasználva az asztalon csúszó test gyorsulása:

$$\begin{gather*} \Delta E_\mathrm{h}-W_\mathrm{s}=\Delta E_\mathrm{m},\\ 3mgs_1-\mu mgs_2=\frac{1}{2}\cdot 3mv_1^2+\frac{1}{2}\Theta\omega_1^2+\frac{1}{2}\Theta\omega_2^2+\frac{1}{2}mv_2^2,\\ \frac{3}{4}mga_2t^2-\frac{1}{4}mga_2t^2=\frac{3}{8}ma_2^2t^2+\frac{1}{16}ma_2^2t^2+\frac{1}{4}ma_2^2t^2+\frac{1}{2}ma_2^2t^2,\\ \frac{1}{2}ga_2t^2=\frac{19}{16}a_2^2t^2,\\ a_2=\frac{8}{19}g. \end{gather*}$$

Ebből már a (4) és (3) mozgásegyenletek alapján:

$$\begin{gather*} K_3=ma_2+S=ma_2+\mu mg=\frac{35}{38}mg,\\ K_2=K_3+\frac{\Theta\beta_2}{r}=K_3+\frac{1}{2}ma_2=\frac{43}{38}mg, \end{gather*}$$

az előző megoldással egyezően. Innentől a megoldás megegyezik az I. megoldás végével.

Statistics:

34 students sent a solution.

5 points: Erdélyi Dominik, Gombos Barna, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Török Tibor, Vincze Anna, Zádori Gellért.

4 points: Békési Máté, Bús László Teodor, Fuchs Vince, Horváth Zsombor, Kovács Tamás, Simon János Dániel.

3 points: 5 students.

2 points: 3 students.

1 point: 5 students.

0 point: 2 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2026

34 students sent a solution.
5 points:	Erdélyi Dominik, Gombos Barna, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Rajtik Sándor Barnabás, Török Tibor, Vincze Anna, Zádori Gellért.
4 points:	Békési Máté, Bús László Teodor, Fuchs Vince, Horváth Zsombor, Kovács Tamás, Simon János Dániel.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	5 students.
0 point:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?