Problem P. 5709. (February 2026)

P. 5709. In May 2025, the Korond stream flooded the salt mine in Parajd. According to reports, approximately five million tons of water flowed into the mine system.

Let us model the mine as an empty sphere of radius \(\displaystyle a\) with a volume equal to the volume of the inflowing water, which just touches the Earth's surface. The contact point is the entrance to the mine. Estimate how much the direction of a plumb line placed at a distance of \(\displaystyle 2a\) from the entrance to the mine on the Earth's surface would have deviated during the flood of the mine.

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ,,elrendezést'' az ábra mutatja.

A kérdéses \(\displaystyle P\) pontban (a bánya modellbeli bejáratától \(\displaystyle 2a\) távolságra) a \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás vízbetörés előtti irányát tekintjük függőlegesnek, értelemszerűen az erre merőleges sík a vízszintes. A bánya elöntése után a bányába ömlött víz hatásara a függőleges \(\displaystyle g\)-hez egy a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=\arctg\tfrac{1}{2}\) szöget bezáró \(\displaystyle \Delta g\) komponens adódik, aminek a nagysága

\(\displaystyle \Delta g=\frac{\gamma M}{5a^2},\)

ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, és \(\displaystyle M\) a beömlött víz tömege. Ennek a \(\displaystyle \Delta g\cos\varphi\) nagyságú vízszintes komponense téríti ki a függőónt az eredeti helyzetéből. A kitérítés szöge

\(\displaystyle \vartheta=\frac{\Delta g\cos\varphi}{g}=\frac{2\gamma M}{5\sqrt{5}a^2g}.\)

Itt alkalmaztuk a kicsiny szögekre érvényes \(\displaystyle \vartheta\simeq\tg\vartheta\) összefüggést, és \(\displaystyle g\) mellett elhanyagoltuk a \(\displaystyle \Delta g\) függőleges komponensét. Mivel \(\displaystyle M=\tfrac{4a^3\pi}{3}\varrho_\mathrm{v}\), (ahol \(\displaystyle \varrho_\mathrm{v}\) a víz sűrűsége) az összes adat ismert és \(\displaystyle \vartheta\) kiszámítható, de érdemes a képletünket úgy átalakítani, hogy csak azonos dimenziójú mennyiségek hányadosát tartalmazza. Erre több lehetőség is van, az egyik az, hogy \(\displaystyle g\) értékét a Föld \(\displaystyle R\) sugarával és \(\displaystyle \varrho_\mathrm{F}\) átlagos sűrűségével fejezzük ki:

\(\displaystyle g=\frac{\gamma 4\pi R\varrho_\mathrm{F}}{3}.\)

Ezt és \(\displaystyle M\) \(\displaystyle a\)-val kifejezett értékét behelyettesítve

\(\displaystyle \vartheta=\frac{2}{5\sqrt{5}}\frac{\varrho_\mathrm{v}}{\varrho_\mathrm{F}}\frac{a}{R}.\)

Az \(\displaystyle M\) tömeg becsült értékéből számítva, két értékes jegyre kerekítve \(\displaystyle a=110\,\mathrm{m}\). A többi adatot is két jegyre kerekítve (\(\displaystyle \varrho_\mathrm{F}=5{,}5\cdot 10^3\,\mathrm{kg/m^3}\), \(\displaystyle R=6{,}4\cdot 10^6\,\mathrm{m}\))

\(\displaystyle \vartheta=5{,}6\cdot 10^{-7}\,\mathrm{rad}=0{,}12''.\)

Statistics:

11 students sent a solution.
4 points:	Bense Tamás, Ferencz Kevin, Kovács Tamás , Mezei Marcell, Tasnádi Zsófia	(5 students).
3 points:	Borsics Bendegúz, Horváth Péter, Zhao Aaron	(3 students).
2 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2026