Problem P. 5710. (February 2026)

P. 5710. A sample of helium gas is taken through the cyclic process, which consists of an isobaric expansion, an isochoric cooling, and an adiabatic compression process. What is the maximum efficiency of this cycle?

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra egy a leírásnak megfelelő körfolyamat \(\displaystyle p\)-\(\displaystyle V\) diagramját mutatja. Az A, B és C pontokban a gáz állapotváltozói rendre \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle V_1\) és \(\displaystyle T_\mathrm{A}=p_2V_1/nR\); \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle V_2\) és \(\displaystyle T_\mathrm{B}=p_2V_2/nR\); illetve \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle V_2\) és \(\displaystyle T_\mathrm{C}=p_1V_2/nR\), ahol \(\displaystyle n\) a gáz mennyisége mólokban kifejezve.

A két nyomás- és két térfogatadatból csak három független, mert a C\(\displaystyle \to\)A folyamat adiabatikus voltából következik, hogy

\(\displaystyle p_1V_2^\kappa=p_2V_1^\kappa.\)

Esetünkben, mivel egyatomos gázról van szó, a fajhőhányados értéke \(\displaystyle \kappa=\tfrac{c_p}{c_V}=\tfrac{5}{3}\). A körfolyamatban hőfelvétel csak az A\(\displaystyle \to\)B, míg hőleadás csak a B\(\displaystyle \to\)C szakaszon van. Ezek értéke rendre

\(\displaystyle Q_1=c_p(T_\mathrm{B}-T_\mathrm{A})=c_p\frac{p_2V_2-p_2V_1}{nR}\)

és

\(\displaystyle Q_2=c_V(T_\mathrm{B}-T_\mathrm{C})=c_V\frac{p_2V_2-p_1V_2}{nR}.\)

A kettő különbsége az egy ciklus alatt végzett munka, így a hatásfok

\(\displaystyle \eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{c_p(p_2V_2-p_2V_1)-c_V(p_2V_2-p_1V_2)}{c_p(p_2V_2-p_2V_1)}=1-\frac{1}{\kappa}\cdot\frac{p_2V_2-p_1V_2}{p_2V_2-p_2V_1}.\)

Az adiabatikus állapotegyenletből kapott

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}\)

összefüggést behelyettesítve, egyszerűsítések után az

\(\displaystyle \eta=1-\frac{1}{\kappa}\cdot\frac{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}}\)

kifejezést kapjuk. Mivel \(\displaystyle p_2>p_1\), kifejezésünk a \(\displaystyle 0<\tfrac{p_1}{p_2}<1\) tartományban értelmes. Itt \(\displaystyle \tfrac{1}{\kappa}<1\) miatt

\(\displaystyle {\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}<{\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}},\)

ezért

\(\displaystyle \frac{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}{1-\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}}>1,\)

azaz

\(\displaystyle \eta<1-\frac{1}{\kappa},\)

ami esetünkben \(\displaystyle \eta<\tfrac{2}{5}\). Ez tehát a felső korlát az ilyen típusú körfolyamatok hatásfoka számára, amit a \(\displaystyle \tfrac{p_1}{p_2}\) arány csökkentésével lehet egyre jobban megközelíteni.

Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:	Békési Máté, Horváth Zsombor, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Kovács Tamás, Mezei Marcell, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Szécsi Bence, Török Tibor, Vincze Anna, Zólomy Csanád Zsolt	(14 students).
4 points:	Borsics Bendegúz, Simon János Dániel, Sümeghi Nándor , Tasnádi Zsófia, Vigh István Csaba	(5 students).
3 points:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, February 2026