Problem P. 5711. (February 2026)
P. 5711. The simple circuit shown in the figure, was built from five alike capacitors of capacitance \(\displaystyle C\), and an ideal battery of electromotive force \(\displaystyle U\).
a) How much charge accumulates on the plates of the middle capacitor?
b) How does this value change if we replace one of the capacitors with another capacitor of capacitance \(\displaystyle nC\)?
(4 pont)
Deadline expired on March 16, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Sorba kapcsolt kondenzátorokon a feszültség a kapacitásokkal fordított arányban oszlik meg, hiszen a két kondenzátoron ugyanakkora töltésnek kell lennie:
\(\displaystyle C_1U_1=Q=C_2U_2,\)
a soros kapcsolás miatt a feszültségek összeadódnak:
\(\displaystyle U_1+U_2=U,\)
amiből
$$\begin{gather*} U_1=\frac{C_2}{C_1+C_2}U,\\ U_2=\frac{C_1}{C_1+C_2}U. \end{gather*}$$a) A kapcsolási rajzot kicsit átrajzolva (1. ábra) láthatjuk, hogy a négy szélső kondenzátor eredője szintén egy \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor, hiszen a sorba kapcsolt két-két kondenzátor eredő kapacitása \(\displaystyle \tfrac{C}{2}\), és ezeket párhuzamosan kapcsolva \(\displaystyle 2\cdot\tfrac{C}{2}=C\) kapacitást kapunk. Így az (eredetileg) középen elhelyezkedő (az ábrán piros) kondenzátorra
\(\displaystyle U_\mathrm{a}=\frac{1}{2}U\)
feszültség jut, a rajta felhalmozott töltés így:
\(\displaystyle Q_\mathrm{a}=\frac{1}{2}CU.\)
1. ábra
b) Itt két esetet kell megkülönböztetnünk: vagy a középső, vagy valamelyik szélső kondenzátort cseréljük ki \(\displaystyle nC\) kapacitásúra. (A második esetben a szimmetria miatt mindegy, hogy melyiket.)
2. ábra
Az első esetben a 2. ábrán látható módon az \(\displaystyle U\) feszültség egy \(\displaystyle nC\) és egy \(\displaystyle C\) kapacitású, sorbakötött kondenzátor között oszlik meg. A bevezető szerint az (eredetileg) középen elhelyezkedő \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra jutó feszültség:
\(\displaystyle U_\mathrm{b1}=\frac{C}{nC+C}U=\frac{1}{n+1}U,\)
amiből a keresett töltés:
\(\displaystyle Q_\mathrm{b1}=nCU_\mathrm{b1}=\frac{n}{n+1}CU.\)
3. ábra
A másik esetet a 3. ábra mutatja. Ekkor a négy másik kapacitás eredője:
\(\displaystyle C_\mathrm{e}=nC\times C+C\times C=\frac{n}{n+1}C+\frac{1}{2}C=\frac{3n+1}{2n+2}C,\)
ahol a \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' jele (a reciprokok összegének a reciproka). Az (eredetileg) középen álló kondenzátorra jutó feszültség a feszültségosztás alapján:
\(\displaystyle U_\mathrm{b2}=\frac{\frac{3n+1}{2n+2}C}{C+\frac{3n+1}{2n+2}C}U=\frac{3n+1}{5n+3}U,\)
amiből a keresett töltés:
\(\displaystyle Q_\mathrm{b2}=CU_\mathrm{b2}=\frac{3n+1}{5n+3}CU.\)
Statistics:
16 students sent a solution. 4 points: Bogdán Balázs Ákos, Fuchs Vince, Horváth Péter, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Papp Emese Petra, Török Tibor, Zádori Gellért (8 students). 3 points: Bús László Teodor, Hornyák Zalán Zétény, Vértesi Janka (3 students). 2 points: 3 students. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2026