Problem P. 5712. (February 2026)
P. 5712. A point-like firefly moves along a straight line and crosses the principal axis of a thin lens of a focal length of 30 cm. The angle between the path of the firefly and the principal axis is 60\(\displaystyle ^\circ\), and the angle between the image of the firefly and the principal axis is 30\(\displaystyle ^\circ\). Measured from the lens, at what distance did the firefly cross the principal axis of the lens?
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Két esetet különböztetünk meg. Ha a szentjánosbogár a fókusztávolságon kívül keresztezi az optikai tengelyt, akkor valódi képek jönnek létre. Azok a fénysugarak, amelyeket a bogár különböző pillanatokban a repülési irányába bocsát ki, ugyanott haladnak és a lencsén való irányváltozás után éppen a képpontok által kijelölt egyenessel esnek egybe (1. ábra).
1. ábra
Ha az irányváltozás helye az optikai tengelyről \(\displaystyle r\) távolságban van, akkor az \(\displaystyle ORP\) és \(\displaystyle OQR\) félszabályos háromszögekre alkalmazott Pitagorasz-tételből kapjuk, hogy
\(\displaystyle r^2=3t^2,\qquad\textrm{illetve}\qquad 3r^2=k^2,\)
vagyis \(\displaystyle r=\sqrt{3}t=k/\sqrt{3}\), tehát \(\displaystyle k=3t\). Ezt a leképezési törvénybe helyettesítve ez az eredmény adódik:
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{3t}=\frac{1}{f},\qquad\textrm{azaz}\qquad t=\frac{4}{3}f=40\,\mathrm{cm}.\)
Megjegyzés. Ugyanezt a \(\displaystyle \tg 60^\circ=\sqrt{3}\) és \(\displaystyle \tg 30^\circ=1/\sqrt{3}\) szögfüggvény-értékekből is megkaphattuk volna.
Ha \(\displaystyle t<f\), akkor a szentjánosbogár látszólagos (virtuális) képe jön létre a lencsének a bogár felé eső oldalán, a lencsétől \(\displaystyle \vert k\vert=-k\) távolságban \(\displaystyle (k<0)\), amikor a fényforrás éppen áthalad az optikai tengelyen.
2. ábra
Most is felírhatjuk a 2. ábrán látható két félszabályos háromszög oldalaira, hogy
\(\displaystyle k^2+r^2=(2r)^2,\qquad\textrm{azaz}\qquad k=-\sqrt{3}r,\)
valamint
\(\displaystyle t^2+r^2=(2t)^2,\qquad\textrm{azaz}\qquad t=r/\sqrt{3},\)
tehát \(\displaystyle k=-3t\), és így a leképezési törvény szerint \(\displaystyle t=2f/3=20\,\mathrm{cm}\).
Megjegyzés. A leképezési hibáktól mentes képalkotásban csak az optikai tengely közelében haladó fénysugarak vesznek részt. A fenti megfontolások során a geometriai viszonyok tisztázása érdekében olyan fénysugarat vizsgáltunk, amely nagyon eltávolodik az optikai tengelytől. Ez a sugár nem vesz részt a tényleges képalkotásban. csak egy segédegyenes szerepét tölti be.
Statistics:
21 students sent a solution. 5 points: Horváth Zsombor, Kovács Tamás , Patócs 420 Péter, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Török Tibor (6 students). 3 points: 1 student. 2 points: 8 students. 0 points: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2026