Problem P. 5713. (February 2026)
P. 5713. According to an amateur space researcher student, a large, flat aluminium foil could remain in equilibrium, even at a stationary position, somewhere in the solar system (but far from the planets). For the sake of simplicity, he assumed that the aluminium sail would reflect 100% of the sunlight. (It is known that the radiant flux density reaching the top of the Earth's atmosphere is \(\displaystyle 1360\,\mathrm{W/m^2}\).) What is the maximum thickness of the ``light sail" that would make this idea feasible?
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a vitorla területe \(\displaystyle A\), vastagsága \(\displaystyle d\), anyagának sűrűsége \(\displaystyle \varrho\), a Naptól mért távolsága pedig \(\displaystyle r\). Feltételezzük, hogy a vitorla merőleges a ráeső fény irányára.
Az alumíniumvitorla tömege \(\displaystyle m=Ad\varrho\), az egész berendezés tömege ennél nyilván nagyobb, hiszen valamilyen merevítő szerkezettel is rendelkezik. A szerkezetre ható gravitációs erő
\(\displaystyle F_1>\frac{\gamma Mm}{r^2}=\frac{\gamma MdA\varrho}{r^2},\)
ahol \(\displaystyle M\) a Nap tömege, \(\displaystyle \gamma\) pedig a Newton-féle gravitációs állandó.
A napvitorlának ütköző és arról visszaverődő fény impulzusa megváltozik, emiatt erőt fejt ki az alumíniumfóliára. A fényt \(\displaystyle E=hf\) energiájú, \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}=\frac{E}{c}\) impulzusú fotonok együttesének tekintjük, minden egyes foton impulzusváltozása \(\displaystyle \varDelta p={2E}/{c}\), és ugyanez az egyenlőség áll fenn a fóliára eső teljes fény kétszeres energiájára és az impulzusváltozására.
A Naptól \(\displaystyle R=1\,\mathrm{CsE}=150\,\textrm{millió km}\) távol lévő, \(\displaystyle A\) területű fóliára \(\displaystyle \varDelta t\) idő alatt \(\displaystyle E=LA\varDelta t\) energiájú fény érkezik, ahol \(\displaystyle L=1360\,\mathrm{W/m^2}\) az ún. napállandó. Ha az alumíniumfólia a Naptól \(\displaystyle r\) távolságban található, a rá eső energia \(\displaystyle (R/r)^2\) arányban kisebb. A fény impulzusváltozása tehát
\(\displaystyle \varDelta p=\frac{2E}{c}=\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2\,\varDelta t,\)
és így az alumíniumfóliára ható (a fénynyomásból származó) erő
\(\displaystyle F_2=\frac{\varDelta p}{\varDelta t}=\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2.\)
Az űreszköz akkor maradhat a bolygóktól távoli helyen nyugalomban, ha \(\displaystyle F_1=F_2\), vagyis
\(\displaystyle \frac{\gamma MdA\varrho}{r^2}<\frac{2LA}{c}\left(\frac{R}{r}\right)^2.\)
azaz
\(\displaystyle d<\frac{2LR^2}{\gamma M\varrho c.}\)
(Érdekes, hogy az eredmény független \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle r\) nagyságától.)
A fenti képlet jobb oldalán ismert nagyságú mennyiségek szerepelnek, de azok behelyettesítése előtt érdemes még egy átalakítást elvégezni. Tudjuk, hogy a Föld a Naptól \(\displaystyle R\) távolságban \(\displaystyle T=1\) éves periódusidővel kering, tehát Newton törvénye szerint
\(\displaystyle \frac{\gamma M}{R^2}=R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)
azaz
\(\displaystyle \gamma M=\frac{4\pi^2R^3}{T^2.}\)
Ezt a korábban kapott kifejezésbe helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle d<\frac{LT^2}{2\pi^2R\varrho c}\approx\frac{1360\cdot(365\cdot 24\cdot 3600)^2}{2\cdot 3{,}14^2\cdot 1{,}5\cdot 10^{11}\cdot 2700\cdot 3\cdot 10^8}\,\mathrm{m}\approx 0{,}5\,\mu\mathrm{m}.\)
Ilyen vékony alumíniumfóliával tehát a diák elképzelése elvben megvalósítható lenne, jóllehet a berendezés merevítése és a helyzetének stabilizálása nagyon komoly technikai nehézségeket jelentene.
Statistics:
26 students sent a solution. 5 points: Bense Tamás, Bús László Teodor, Ferencz Kevin, Fuchs Vince, Horváth Péter, Horváth Zsombor, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Sümeghi Nándor , Tasnádi Zsófia, Török Tibor, Vértesi Janka, Vigh István Csaba, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt (19 students). 3 points: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 script.
Problems in Physics of KöMaL, February 2026