Problem P. 5727. (April 2026)

P. 5727. A 30 cm high air column is enclosed by an 8 kg piston in a vertical, thermally insulated cylinder with a cross-sectional area of \(\displaystyle 2\,\mathrm{dm^2}\). The external air pressure is 100 kPa. The enclosed gas is kept in stable equilibrium by a constant downward force acting on the piston. At a certain moment the piston is released and allowed to move freely upward until it reaches a bumper located 10 cm above its initial position. A heating coil ensures that the gas inside the cylinder drives the piston upward with constant acceleration.

a) What is the initial pressure of the gas if the piston moves frictionlessly and the duration of its motion is 0.2 s?

b) Give the power of the heating coil as a function of time.

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megadott mennyiségeket jelöljük a következőképp: \(\displaystyle A=2\,\mathrm{dm}^2\), \(\displaystyle h=30\,\mathrm{cm}\), \(\displaystyle m=8\,\mathrm{kg}\), \(\displaystyle p_0=100\,\mathrm{kPa}\), \(\displaystyle d=10\,\mathrm{cm}\), \(\displaystyle t=0{,}2\,\mathrm{s}\). A dugattyú mozgása során:

\(\displaystyle a=\frac{2d}{t^2}=\frac{2\cdot 0{,}1\,\mathrm{m}}{(0{,}2\,\mathrm{ s})^2}=5\,\mathrm{m/s}^2\)

állandó gyorsulással mozog. A dugattyút a két oldalán levő nyomások különbségéből származó erő gyorsítja. Ha állandó a gyorsulása, akkor a hengeren belüli nyomás is állandó:

\(\displaystyle p_1=p_0+\frac{m(g+a)}{A}=100\,\mathrm{kPa}+\frac{8\,\mathrm{kg}\cdot\left(9{,}81\,\mathrm{m/s}^2+5\,\mathrm{m/s}^2\right)}{0{,}02\,\mathrm{m}^2}=106\,\mathrm{kPa}.\)

A hengerben a gáz állandó nyomáson tágul, ehhez melegíteni kell. A fűtés teljesítménye az időegység alatt felvett hő:

\(\displaystyle P=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{\frac{7}{2}p_1\Delta V}{\Delta t}=\frac{\frac{7}{2}p_1A\Delta h}{\Delta t}=\frac{7}{2}p_1Av=\frac{7}{2}p_1Aat= 3{,}5\cdot106\,\mathrm{kPa}\cdot0{,}02\,\mathrm{m}^2\cdot5\,\mathrm{m/s}^2\cdot t=37\,\mathrm{kW/s}\cdot t.\)

Közben felhasználtuk, hogy a kétatomos gáz állandó nyomáson 3,5-ször annyi hőt vesz fel, mint a tágulási munka. A dugattyú fűtésének teljesítménye tehát időben egyenletesen növekszik, a tágulás alatt 0-ról \(\displaystyle 7{,}4\,\mathrm{kW}\)-ra.

Statistics:

23 students sent a solution.
4 points:	Ferencz Kevin, Horváth Péter, Kossár Benedek Balázs, Mezei Marcell, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Zádori Gellért.
3 points:	Békési Máté, Borsics Bendegúz, Bús László Teodor, Fuchs Vince, Lakatos Levente, Rajtik Sándor Barnabás, Török Tibor, Vigh István Csaba.
2 points:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2026