Problem P. 5728. (April 2026)

P. 5728. In the infinite circuit shown in the figure, each resistor has resistance \(\displaystyle R\), each capacitor has capacitance \(\displaystyle C\), and each inductor has inductance \(\displaystyle L\). Determine how the current in the circuit varies as a function of time if an alternating voltage supply \(\displaystyle U_{A,B}=U_\mathrm{max}\sin\omega t\) is connected across points \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\).

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle A\) pont potenciálja

\(\displaystyle U_A=+\frac{1}{2}U_\mathrm{max}\sin\omega t,\)

a \(\displaystyle B\) ponté pedig

\(\displaystyle U_B=-\frac{1}{2}U_\mathrm{max}\sin\omega t.\)

Ha a kapcsolást a kondenzátorok és a tekercsek által kijelölt átlóra tükrözzük, minden csomópontban a potenciál a \(\displaystyle (-1)\)-szeresére változik. Másrészt a kapcsolás szimmetriája miatt a tükrözéskor az átló minden pontjában a potenciál változatlan marad. Ez a két feltétel akkor teljesül egyszerre, ha a kondenzátorok, illetve a tekercsek végpontjai mind nulla potenciálúak, azaz ekvipotenciálisak.

Ekvipotenciális pontok között nem folyik áram, tehát az árameloszlás nem változik meg akkor, ha valamennyi kondenzátort és valamennyi tekercset eltávolítjuk a kapcsolásból.

A maradék elemek mindegyike ohmos ellenállás. A legbelső négyzetben két-két \(\displaystyle R\) nagyságú ellenállás sorosan (eredőjük tehát \(\displaystyle 2R\)), ezek pedig párhuzamosan vannak kapcsolva, az eredőjük tehát \(\displaystyle R\). A következő négyzet 4 ellenállása \(\displaystyle 2R\), az rákövetkezők \(\displaystyle 4R\), \(\displaystyle 8R\) stb. ellenállással helyettesíthetők.

Az egész kapcsolás eredője párhuzamosan kapcsolt \(\displaystyle R,\,2R,\,4R,\,8R,\,\ldots\) ellenállásokból számolható:

\(\displaystyle \frac{1}{R_\textrm{eredő}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{4R}+\frac{1}{8R}+\ldots=\frac{2}{R},\)

vagyis \(\displaystyle R_\textrm{eredő}=R/2.\) Ennek megfelelően a kapcsoláson az idő függvényében

\(\displaystyle I(t)=\frac{U_{A,B}}{R_\textrm{eredő}}=\frac{2U_\mathrm{max}}{R}\sin\omega t\)

áram folyik keresztül.

Statistics:

Problem P. 5728. is not processed yet.

Problems in Physics of KöMaL, April 2026