Problem P. 5729. (April 2026)

P. 5729. Two point-like bodies of equal mass $\displaystyle m$, carrying charges $\displaystyle +q$ and $\displaystyle -q$, are initially held at rest at a distance $\displaystyle d$ from each other. If they are released simultaneously, they will collide after some time. However, if the experiment is repeated in a uniform magnetic field of appropriate strength, directed perpendicular to the line joining the bodies, the collision does not occur. According to the solution to the problem set for the 2025 Eötvös competition (see the January 2026 issue of our journal), the minimum value of magnetic induction necessary to avoid collision is: $\displaystyle B_{\mathrm{min}}=4\sqrt{km/d^3}$

a) Using numerical methods, determine and plot the trajectory of the charges for magnetic inductions $\displaystyle {B=\tfrac{4}{5}B_{\mathrm{min}}}$, $\displaystyle B\approx B_{\mathrm{min}}$, and $\displaystyle B=\tfrac{5}{4}B_{\mathrm{min}}$.

b) For $\displaystyle B<B_{\mathrm{min}}$, determine and plot the time elapsed until the collision of the charges as a function of $\displaystyle B/B_{\mathrm{min}}$.

c) When $\displaystyle B>B_{\mathrm{min}}$, the charges periodically move away from each other a distance of $\displaystyle d$ again and again. Determine and plot this period as a function of $\displaystyle B/B_{\mathrm{min}}$. Hint for the numerical solution can be found in Péter Csóka and Barnabás Seprődi, ``Solving Physics Problems Using Numerical Methods'', published in the November 2024 issue of our journal.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szimmetria miatt elég az egyik test mozgását vizsgálnunk. Legyen az origó a két töltést összekötő szakasz felezőpontján, és mutasson az $\displaystyle x$ tengely az egyik töltés irányába, az $\displaystyle y$ tengely pedig legyen erre merőleges (1. ábra).

1. ábra

A mozgásegyenletek:

$$\begin{gather*} ma_x=-\frac{kq^2}{(2x)^2}+qBv_y,\\ ma_y=-qBv_x. \end{gather*}$$

Vezessük be a $\displaystyle \beta=B/B_\mathrm{min}$, $\displaystyle T=t/\tau$, $\displaystyle X=x/d$, $\displaystyle Y=y/d$, $\displaystyle V_X=\tau v_x/d$, $\displaystyle V_Y=\tau v_y/d$, $\displaystyle A_X=\tau^2a_x/d$ és $\displaystyle A_Y=\tau^2a_y/d$ dimenziótlan mennyiségeket, ahol $\displaystyle \tau=\sqrt{md^3/(kq^2)}$ a rendszer adataitól függő idő dimenziójú állandó. Ezekkel a mozgásegyenletek:

$$\begin{gather*} A_X=-\frac{1}{4X^2}+4\beta V_Y,\tag{1}\\ A_Y=-4\beta V_X.\tag{2} \end{gather*}$$

A $\displaystyle T=0$ időpillanatban $\displaystyle X=\tfrac{1}{2}$, $\displaystyle Y=0$ és $\displaystyle V_X=V_Y=0$. A feladatban hivatkozott cikk módszerét alkalmazva:

$$\begin{gather*} V_X(T+\Delta T)=V_X(T)+A_X(T)\cdot\Delta T,\\ V_Y(T+\Delta T)=V_Y(T)+A_Y(T)\cdot\Delta T,\\ X(T+\Delta T)=X(T)+V_X(T)\cdot\Delta T,\\ Y(T+\Delta T)=Y(T)+V_Y(T)\cdot\Delta T, \end{gather*}$$

ahol $\displaystyle \Delta T$ az elvárt pontosságnak megfelelően kicsiny időtartam, $\displaystyle A_X(T)$ és $\displaystyle A_Y(T)$ pedig az (1) és (2) összefüggések alapján számítható. Ezt a rekurzív képletet bármilyen program (vagy akár Excel táblázatkezelő) segítségével a kezdeti állapotból kiindulva alkalmazhatjuk, majd az így nyert adatokból a feladatban kért grafikonokat elkészíthetjük.

a) A $\displaystyle B<B_\mathrm{min}$ esetben figyelnünk kell a rekurzió leállítására: $\displaystyle X\approx 0$ esetén a két töltés összeütközik, ezután a képletek értelmetlen eredményeket generálnak. A $\displaystyle B\approx B_\mathrm{min}$ esetben az eredeti versenyfeladatban kiszámított minimális távolság ($\displaystyle X=\tfrac{1}{4}$) közelében könnyen instabillá válik a – véges $\displaystyle \Delta T$ miatt szükségszerűen közelítő – számítás, így itt érdemes a $\displaystyle B\lessapprox B_\mathrm{min}$ és $\displaystyle B\gtrapprox B_\mathrm{min}$ értékekkel is számolni. A 2. ábrán a töltések pályája látható különböző $\displaystyle \beta=B/B_\mathrm{min}$ értékek esetén. (A feladatban kért görbék vastagabb vonallal.)

2. ábra

b-c) Ugyanazt a rekurziót futtatjuk különböző $\displaystyle \beta$ paraméterrel, de most nem az $\displaystyle X$-$\displaystyle Y$ párokat rögzítjük, hanem azt figyeljük, mikor éri el $\displaystyle X$ valamelyik határfeltételt ($\displaystyle B<B_\mathrm{min}$ esetében az $\displaystyle X\approx 0$-t, $\displaystyle B>B_\mathrm{min}$ esetében pedig az $\displaystyle X\approx\tfrac{1}{2}$-et a kezdőállapot utáni első alkalommal). A $\displaystyle T_\textrm{ü}$ ütközési időket, illetve a $\displaystyle T_\mathrm{p}$ periódusidőket ($\displaystyle \tau$ egységekben) egy közös grafikonban a 3. ábra mutatja $\displaystyle \beta$ függvényében. Az 1. ábrán látható módon $\displaystyle \beta=1$ esetében a töltések aszimptotikusan tartanak az $\displaystyle X=\pm\tfrac{1}{4}$ értékhez, így itt se ütközés, se periodikus mozgás nem alakul ki. $\displaystyle \beta\approx 1$ esetében $\displaystyle T_\textrm{ü}\to\infty$ és $\displaystyle T_\mathrm{p}\to\infty$.

3. ábra

Statistics:

Problem P. 5729. is not processed yet.

Problems in Physics of KöMaL, April 2026

Already signed up?
New to KöMaL?